Números Enteros. Ejercicios.

1. Números Positivos y Negativos

Los Números Naturales sirven para contar, pero a veces, para este menester, es necesario usar cantidades negativas. Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de números enteros.

Por lo tanto, los números enteros forman un conjunto constituido por:

• El número cero, que es, a la vez, natural y entero.
• Los números naturales distintos de cero precedidos por el signo +, que se llaman enteros positivos: +1, +2,+3,+4...
• Los números naturales distintos de cero precedidos por el signo -, que se llaman enteros negativos: -1,-5,-6...

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Ejercicios:

1. Escribe, utilizando números enteros, una temperatura de 7ºC bajo cero y una altitud de 3200 m sobre el nivel del mar.

2. Escribe todos los números enteros comprendidos entre -15 y +15.

3. Completa los números en los botones del ascensor.   

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2. Representación en la recta graduada

La siguiente ilustración muestra la representación de los números naturales y los números enteros en una misma recta graduada:

www.2.bp.blogspot.com

Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenación:

• Los naturales (El 0 y los enteros positivos) ya estaban ordenados.
• Todos los números naturales son mayores que los negativos.
• Si un número natural a es menor que b, entonces -a es mayor que -b.

Observa que:

• El cero natural y el cero entero son el mismo número.
• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero y ocupan los mismos puntos que los naturales distintos de cero. Como tienen igual valor, se los considera iguales; por tanto: +1 = 1; +2 = 2...
• Los números enteros negativos están a la izquierda de cero.

3. Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe |a| y se define del siguiente modo:

• El valor absoluto de un número natural es él mismo: |a| = a
• El valor absoluto de un número negativo es su opuesto: |-b| = b

Gráficamente:

• El valor absoluto de un número es su distancia a 0.
• El valor absoluto de la diferencia entre dos números es su distancia.

Ten en cuenta:

Dos números enteros de distinto signo y con el mismo valor absoluto son opuestos entre sí. El opuesto de 0 es 0.

Por ejemplo: el número -1 es el opuesto a +1.

   

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Ejercicios:

4. Representa sobre una recta graduada los números +4, -3, -7, +2.

5. ¿A qué distancia de 0 está -4? ¿Y +4?

6. Escribe dos números enteros cuya distancia a 0 sea 25.

7. Halla los valores absolutos de -7, +7, -24, 0, +35, y -120.

8. Escribe los números opuestos de 0, +3, -4, -12, +6 y +25.

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4. Comparación de números enteros

Una forma rápida y sencilla de comparar cantidades con respecto a una dada consiste en asignarle valores relativos y representarlos en una recta graduada.

En una recta graduada. un número entero es siempre mayor que todos los que quedan a su izquierda y menor que todos los que están a su derecha, o lo que es lo mismo, un número positivo es siempre mayor que otro negativo. El cero, en este caso, también es siempre mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo.

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Ejercicios: 

9. Completa la siguiente tabla de valores relativos formada al asignar el valor 0 a un peso de 75 kg.

Peso kg	56	67	75	80	82	92	110
Valor Relativo		-8	0		+7

10. Representa los números -4, +3, +1 y 0 en la recta graduada y ordénalos de menor a mayor utilizando el símbolo <.

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5. Operaciones con números enteros

Los números enteros se pueden sumar, restar y multiplicar y el resultado de esas operaciones es también un número entero.

Sin embargo, al igual que en los naturales, la división de números enteros solo es un número entero cuando el dividendo es múltiplo del divisor.

Reglas Prácticas para operar con números enteros

• Suma de números enteros:

Para sumar números enteros hay que aplicar las siguientes reglas:

1. Suma de dos enteros positivos, se suman sus valores absolutos y se añade el signo + delante del resultado.
2. Suma de dos enteros negativos, se suman sus valores absolutos y se añade el signo - delante del resultado.
3. Suma de un entero positivo con otro negativo, se restan los valores absolutos (el mayor menos el menor) y se añade delante del resultado el signo del sumando de mayor valor absoluto.

• Estas reglas se pueden resumir en dos:
  • Para sumar dos números enteros con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo.
  • Para sumar dos números con distinto signo, se restan sus valores absolutos y se antepone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

  Al sumar números enteros, los positivos pueden sustituirse por números naturales. Así se eliminan signos innecesarios.

• Resta de números enteros

La diferencia entre dos números enteros de la recta graduada se obtiene calculando el desplazamiento que nos permite ir desde el sustraendo hasta el minuendo. Los desplazamientos de izquierda a derecha se consideran positivos, y los desplazamientos de derecha a izquierda, negativos.

La resta entre dos números enteros es el número entero que resulta de sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

• Operaciones combinadas de sumas y restas

Para calcular expresiones de sumas y restas de números enteros, primero se eliminan los signos innecesarios y se aplica después uno de estos dos procedimientos:

-  Se suma de derecha a izquierda.

-  Se suman los positivos y los negativos por separado y se restan los resultados.

Paréntesis

Cuando hay un paréntesis, la mejor opción es obtener el resultado de las operaciones que se proponen en su interior. Pero si deseamos suprimir el paréntesis sin efectuar operaciones, precederemos así:

-  Si el paréntesis va precedido de un signo menos, al suprimirlo se cambia el signo de cada sumando que hay en su interior.

-  Si el paréntesis va precedido por un signo más, al suprimirlo se mantiene el signo de cada sumando que hay en su interior.

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Ejericicios

11. Serafín va a un torreón. Después de subir 15 escalones, bajar 9, subir 24 y volver a descender otros 35, pierde el sentido de la orientación. Ayúdale diciéndole dónde se encuentra.

12. Utiliza la recta graduada para sumar -13 y +9.

13. Utiliza la recta graduada para calcular (-5) + 15) + (-7).

14. Utiliza la recta graduada para hallar un número entero que, sumado a -8, de +4.

15. Efectúa las siguientes sumas sin utilizar la recta graduada:

  a) (+5) + (-9) =
  b) (-15) + (-24) =
  c) 35 + (-45) + (-65) + 105 =
  d) -36 + 13 + (-7) =
  e) 8 + 29 + (-16) =
  f) -32 + (-93) + (+57) =

16. Pitágoras fue un famoso matemático griego de la Antigüedad que nació en el 580 a. C. y vivió 80 años. ¿En qué año murió?

17. Halla el valor de las siguientes restas:

  a) +14 - (+3) =
  b) +10 - (-5) =
  c) -25 - (-14) =
  d) -5 - (+37) =

18. Calcula mentalmente:

  a) 4 - 3 =
  b) 4 - (-3) =
  c) -5 - (-4) =
  d) -5 -4 =

• Multiplicación de números enteros

La multiplicación de dos números enteros se efectúa según las siguientes reglas:

matematicascarmelitas.blogspot.com

- Para multiplicar dos números enteros con el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo +.

- Para multiplicar dos números enteros con distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo -.

• División exacta de números enteros

- Para dividir dos números enteros con el mismo signo, se dividen sus valores absolutos y se antepone el signo +.
- Para dividir dos números enteros con distinto signo, se dividen sus valores absolutos y se antepone el signo-.

• Potencias

Al elevar un número negativo a una potencia el resultado será positivo o negativo dependiendo de la paridad del exponente:

-  Si el exponente es par, el resultado es positivo.

-  Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Ejercicios de Números Enteros

1. Escribe, utilizando números enteros, una temperatura de 7ºC bajo cero y una altitud de 3200 m sobre el nivel del mar.

2. Escribe todos los números enteros comprendidos entre -15 y +15.

3. Asocia cada situación a un número:

    1. Tengo 20 €                                             a) - 20

    2. Debo 20€                                               b) - (-20)

    3. Me perdonan una deuda de 20 €             c)+20

    4. Pierdo 20€                                              d)-(+20) 

4. Representa sobre una recta graduada los números +4, -3, -7 y +2.

5. ¿A qué distancia de 0 está -4? ¿y +8?

6. Escribe dos números enteros cuya distancia  a 0 sea 25.

7. Halla los valores absolutos de -7, +7, -24, 0, +35 y -120.

8. Escribe los números opuestos de 0, +3, -4, -12, +6 y +25.

9. Completa la siguiente tabla de valores relativos formada al asignar el valor 0 a un peso de 75 kg.

Peso (Kg)                Valor Relativo

56                                 ___

67                                  -8

75                                   0

80                                  ___

82                                   +7

96                                   ___

110                                 ___

10. Representa los números -4, +3, -2, +1 y 0 en la recta graduada y ordénalos de menor a mayor utilizando el símbolo < y >.

11. Completa las siguientes casillas, asignando un signo positivo o negativo adecuado a cada situación:

• Subo --> +
• Bajo -->
• Avanzo -->
• Retrocedo -->
• Tengo -->
• Debo -->

12. Arquímedes fue un gran sabio de la Antiguedad que nació en el 287 a.C. ¿Cómo se escribe este año con números enteros?

13. Escribe de forma ordenada todos los números enteros comprendidos entre -20 y +20.

14. Contando de izquierda a derecha en la recta graduada, escribe el número entero que sigue a +45 y el número entero que sigue a -45.

15. Escribe el valor absoluto de los números -13, +2, 0, +28 y -7.

16. Escribe los números opuestos a +2, 0 y -12.

17. Sitúa sobre la recta graduada los números +5 y -8 y otros dos que sean simétricos a ellos respecto del punto 0. ¿Cuáles son estos últimos números?

18. Representa en la recta graduada los números -6, +7, -4, +9 y +4 y ordénalos de mayor a menor.

19. Completa con los símbolos > o <:

a) -3 __ -2

b) +5 __ - 4

c) +2 __ 0

d) -7 __ -5

20. Escribe dos números enteros negativos que sean mayores que -8.

21. Escribe un número entero que sea menor que -57 y mayor que -60 ¿Cuántas soluciones hay?

22. Si al mes de abril le asignamos un valor relativo igual a cero, ¿Qué valor relativo le asignaríamos a agosto? ¿Y a enero?

23. Escribe el número que sigue en cada una de estas secuencias numéricas.

a) -2, 0 , +2, +4, __

b) -3, -1, +1, +3, __

c) -2, -4, -6, -8, __

24. Ordena los números:  -1, -25, +1, -10, 4

25. Efectúa las siguientes sumas:

a) 20-8+3+5

b) 9-11+25-6

c) 3+5-6+101-9-9

d) 5+8-9-8-7+33-2

e) 5-9-8-88+6+5

26. Utiliza la recta graduada para sumar -13 y +9

27. Utiliza la recta graduada para calcular (-5) + (+15) + (-7)

28. Utiliza la recta graduada para hallar un número entero que, sumado a -8, dé +4.


29. Efectúa las siguientes sumas:

a) (+5) + 9)
b) (-15)+(-24)
c) 35+ (-45)+(-65)+105
d) -36+13+(-7)
e) 8+29+(-16)
f)-32+(-93)+(57)

30. Pitágoras fue un famoso matemático griego de la Antigüedad que nació en el 580 a.C. y vivió 80 años. ¿En qué año murió?

31. Halla el valor de las siguientes restas:

• +14-(+3)
• +10-(-5)
• -25-(-14)
• -5-(+37)
• 4-3
• 4-(-3)
• -5-(-4)
• -5-4

32. Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

a) -5+3-(-7)

b) 18-9+(-6)

c) 5-6-7+8

d) -3+4-(+11)

e) (-25)-(-91)-(+67)

e) (-2)-(+6)-(-7)

33. Resuelve:

a)  4529 - (-7812)

b) -4873 - (-346)

c)  89 - (+45)

34. Calcula el valor de estas expresiones:

a) 2-6+59-69+4-8-9+3

b) 5-9+9-8-5+6+8+8

c) 20-8-3+5

d) 9-12+11-4-3

e) 7+12-5+3-10

35. Quita paréntesis:

a) +(-1)

b) -(+6)

c) -(-9)

d) +(+6)

e) -(+8)

f) +(-3)

36. Quita paréntesis y calcula:

a) -( +1-2-3)

b) +(-2+4-8)

c) -(+3-5+8)

d) +(9-8-7)

e) - (-6-5-4)

37. Calcula:

a) (5+8-9) - (6+8-9)

b) 9 +(8-9-5)

c) 6 - (9+10) + (7-9+40)

d) -7+10 + (10-8+9)

e) (8+9-99) -8

38. Calcula los siguientes productos:

a) (+2) · (-54)

b) (-2)·(+9)

c) (-1)·(-1) 

d) (+10)·(-15)

39. Calcula estos productos:

a) (+125)· (+15)

b) (-2)· (-54)

c) (+5)·(+8)·(-12)

d) (+5)·(-8)·(+12)

e) (+5)·(-8)·(-12)

f) (-5)·(-8)·(-12)

40. Escribe con un solo signo las siguientes expresiones:

a)-(-6)

b)-(+(-5))

c)+(+(-(11)))

d)-(-(-(-(-2))))

41. Efectúa las siguientes divisiones:

(+15): (+5)
(+15) : (-3)
(-18) : (+3)
(-18) : (-2)


42. Calcula el valor de las siguientes potencias de números enteros:

(+3)^5
(-3)^5
(-10)^4
(+4)^2
(-2)^3