El lenguaje Algebraico

Trabajar el lenguaje algebraico consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan con letras. Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

• Monomios : 3x>2
• Polinomios: 2x>2 - 7x +1

Algunas expresiones algebráicas son igualdades:

• Identidades: 3(x+4)= 3x+12. La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.
• Ecuaciones: 3 (x+4) = 27. La igualdad sólo es cierta para algún valor de x. En este caso x=5.

Para comenzar a trabajar con identidades y ecuaciones, cabe saber en primer lugar los formalismos algebraicos, estos consisten en:

1. El factor 1 no se escribe  1·x = x
2. El exponente 1 tampoco se escribe x>1 = x
3. El divisor 1 tampoco se pone x/1 =x
4. El signo de multiplicación tampoco se pone.
5. El número SIEMPRE delante de la letra.
6. Tener presente la propiedad distributiva.

Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un determinado problema, se obtienen expresiones algebraicas como:

• Monomios
• Polinomios
• Identidades
• Ecuaciones

Algunos Ejercicios:

1. La edad de Ángel, dentro de 15 años, será el doble de la que entonces tenga Marisa.

2. Si gasto 2/5 de lo que tengo y además 60€, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.

3. Expresa mediante una ecuación la siguiente relación: "La edad de Ángel dentro de 5 años será el cuádruple de la que tiene ahora Marisa".

4. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:

a) A un número le quitas 7

b) El doble de un número mas su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

5. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso.

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es la mitad del ancho 

c) La altura es 20cm menos que el ancho

d) La altura es los 3/4 del ancho

e) La altura es un 20% menor de su ancho

Monomios

Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras. En un monomio, la parte literal representa números de valor desconocido. Por eso conservan todas las propiedades de los números y sus operaciones.

El coeficiente es el número que interviene.

Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal. Los números son monomios de grado cero, pues x^0 =1

Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal.

• Valor Numérico de un Monomio

El valor numérico de un monomio para ciertos valores de las letras que intervienen es el resultado que se obtiene al efectuar las operaciones con los números que resultan de la sustitución.

• Suma de Monomios

La suma de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma de coeficientes. Si dos monomios no son semejantes, su suma no se puede simplificar y hay que dejarla indicada.

• Productos de Monomios

El producto de monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y su parte literal, el producto de las partes literales.

Ejercicios

1. ¿Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios?

a) -2/7 ab^2c^3

b) -3xy^2

c) 4/3 x^2y^5z^2

2. Halla el valor numérico de los monomios siguientes para x=3, y=-2, z=5

a) -6x^2yz

b) 3x^2

c) 4xy^2

d) -5x^2y^2z^2

e) yz

f) -2xz^3

3. Efectúa las siguientes sumas de monomios:

a) 5x-3x+4x+7x-11x+x

b) 3x^2y-5x^2y + x^2y

c) 7x^3-11x^3+3y^3-y^3+2y^3

4. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:

a) -5ab^2c^3

b) 11x^4

c) x

3. Expresa con un monomio:

a) El perímetro de esta figura:

b) El área de esta figura:

c) El volumen del cubo que se puede formar con esta figura:

4. Traduce a lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:

a) Los tres quintos de un número menos 1:

b) La suma de tres números consecutivos:

c) Un múltiplo de tres más su doble:

d) La suma de un número y su cuadrado:

e) El producto de un número por su siguiente:

5. Traduce al lenguaje algebraico, empleando dos incógnitas:

"La suma de las edades que tenían un padre y su hijo hace 6 años"

6. Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos incógnitas:

a) Un número más la mitad de otro.

b) El cuadrado de la suma de dos números.

c) La diferencia de los cuadrados de dos números.

d) El doble del producto de dos números.

e) La semisuma de dos números.