Ejercicios de Ecuaciones

1. Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3/5 (x-1) - 1/3 (x+1) + 1/2 = 1/6 (x-1) + 2/5
b) 3x/x+1 + 4/x+2
c) (1-x)^3 - 4x = -9
d) 2^1-x = 1/8

2. Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido:

a) 3x-5/4 = 1
b) 7 - x+4/3 =2
c) 1/x + 1/x + 1/x = 3
d) (x-1)^3 = 8
e) (x-2)^2 = 81
f) x^4-1 / 2
g) 3^x-5 = 9
i) √x+13=5
j) √2x-1=3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)(x-5)(x+2) = 0
b) x(3x-4)=0
c)3(x-1)^2=0
d)(2x-1)^2/3=0

4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:

a) 12x - 8 = 34 + 5x
b) 4(2-x) - (4-x) = 7(2x+3)
c) 2[x+3(x+1)] = 5x
d) 5(x-2)-2(x-5)= 2x - (2+3x)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1/2 + 1/3x = x- 1/6
b) 3x-3/4 = 3+4/3
c) 3(x+3)/2 - 2(2-3x) = 8x-1-2(x+3)
d) 3x+3/4 - 3x-2/3 = 1/6 +  x+3/12
e) x+7/2 - 7-x/6 = x-7/12 + 7
f) 5+x/4 - 5-x/5 = 1+x/4 -1

6. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2/3 (x+3) - 1/2 (x+1) = 1 - 3/4 (x+3)
b) 1/2 - 2 (x-3/4) + 4x = 2x - 1/3 (4x-3)
c) 5/8 + 3/2 [1/2x (2/4x + 1/6) - 5/2] = 3/4 (x-1/3) - x

7. Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución:

a) (x+1) (x-1) - 3(x+2) = x(x+2)+4
b) (2x+3)^2 - (2x-3)^2 = x(x+3) - (x^2+1)
c) (x-1/3) (x+1/3)-x (x+1/6) = 1/3 (x-2)
d) (x+1)^2 - (x+2)(x-3) + 5/4x - 9/2x =25

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin usar la fórmula de resolución:

a) 7x^2-21x=0
b) x+2x^2=0
c) 2x^2 - 7x=0
d) 2/5x^2 + 4x= 0
e) x= 4x^2
f) 8x^2 - 18 = 0
g) 4x^2 - 1=0
h) 3x^2 - 6 = 0
i) 100x^2 - 16=0
j) 2x^2 - 50 = 0

9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 9x + 14= 0
b) 4x^2 - 4x + 1 = 0
c) 2x^2 - 7x = 0
e) 2/5 x^2 + 4x= 0
f) x= 4x^2
g) (x+1)^2 - 3x = 3
h) (2x-3) (2x+3) - x (x-1) =5
i) (2x + 1)^2 = 1+ (x+1)(x-1)
j) (x+4)^2 - (2x-1)^2 = 8x
j) x(x-3)/2 + x(x-2) / 4= (3x-2)^2/ 8 -1
k) 3/2 (x/2 - 2)^2 - x-1/8 = 1/8 - x-1/4

10. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 0,4x - 3,2 = 1,65x + 0,8
b) 1,2x - 4,5 / 0,2 = x-2,4 / 0,5
c) 5(x-2)^2 - 500 = 0
e) (x-4) (x-0,5) = 0
d) x+4/6 - 2(x+1) / 9 = x-2/ 6 - 11+ 9x/18
f) x^2 - 3,2x = 0
g) (3x-2)^2 / 4 = 16
h) 3x^2 - 0,75 = 0
i) 0,2x^2 + 1,6x - 4= 0
j) 2/3x^2 - x/2 + 1/12 = 0

Resolución de Problemas Mediante Ecuaciones

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene seguir estos pasos:

1. Identificar los datos conocidos, los que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita.
2. Relacionar mediante una igualdad lo conocido con lo desconocido.
3. Resolver la ecuación.
4. Interpretar la solución ajustándola al enunciado.


Ejercicios

1. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.

2. La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su área mide 600cm^2. Calcular las dimensiones de un rectángulo.

3. Se mezclan 30Kg de café de 6€/Kg con cierta cantidad de café superior de 8€/Kg, resultando una mezcla de 7,25€/Kg ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado?

4. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2cm menos que la hipotenusa y 14cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados.

5. Un repostero ha mezclado 12 Kg de azúcar de 1,1€/Kg con una cierta cantidad de miel, de 4,2€/Kg. La mezcla sale a 2,34€/Kg. ¿Cuánta miel mezcló?

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado es de la siguiente forma:

Estas ecuaciones han de resolverse con una herramienta esencial, esta herramienta es una fórmula que deberás memorizar:

El doble signo (+ -) quiere decir que puede haber dos soluciones, y se debería resolver dos veces. Una empleando el signo positivo y otra el negativo. Si queremos visualizar un ejemplo de una ecuación de segundo grado con solución sería de esta forma:

Número de soluciones

Una ecuación de Segundo Grado puede tener resultar tener:

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Las ecuaciones de Segundo Grado ax^2 + bx + c = 0 en las que los coeficientes b o c son cero, se llaman incompletas. Aunque se pueden resolver aplicando la fórmula, también es posible hacerlo de forma mucho más sencilla.

Para las ecuaciones sin término en x o más bien llamado, término b, se utiliza esta fórmula:

Para las ecuaciones sin término independiente o c se utiliza la siguiente fórmula:

Reglas para resolver ecuaciones de 2º Grado

1. Si la ecuación de segundo grado está completa (tiene todos sus términos), aplica la fórmula.
2. Si es una ecuación incompleta, tal y como hemos visto, puedes resolverla con las fórmulas anteriores.
3. Si tiene una fisionomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer término. Sólo cuando esté simplificada aplica la fórmula.
4. Comprueba las soluciones. Si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 6x + 5 = 0
b) x^2 - 5x + 6 = 0
c) 6x^2 - 5x + 1 = 0
e) 4x^2 - 4x + 1 = 0
f) x^2 - x + 1 = 0
g) 5x^2 + 7x = 0
h) 4x^2 - 9 = 0

2. Resuelve estas ecuaciones:

a) 3x^2 - 75 = 0
b) 2x^2 + 10 = 0
c) 7x^2 - 5x = 0
d) 3(x^2 + 5) = x^2 + 40
e) 5x^2 - 5 = 0
f) 5x^2 + 5 = 0
g) 7x^2 + 5 = 18
h) 2x^2 - 6x = 0
i) 5x^2 + 7x = 0
g) 3x^2 - 2(x-5) = (x+3)^2 - 19

3. Resuelve la ecuación:

(x+2)^2 / 5 - x^2-9/4 = (x+3)^2/2 + 1/5

4. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3cm más largo que el mediano, y este, 3cm más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados?

5. Resuelve:

a) (5x-4)(2x+3)=5
b) x^2-3x / 2 - 5 = x-20/4

6. El producto de un número natural por el siguiente es 272. Calcula dichos números.

7. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.