Sistemas de Ecuaciones

En las ecuaciones de dos incógnitas existen dos soluciones que hacen cierta igualdad. Una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. A estas incógnitas se les suele designar con las letras x e y aunque, sin embargo, pueden usarse otras letras. Algunos tipos de ecuaciones que nos podemos encontrar son:

Polinómicas:

• De primer grado Lineales: 2x - 5y = 7
• De segundo grado Cuadráticas: x^2 - y - 3 = 0
• De grado superior: x^2y - 3x + y^2 = 0

Radicales:

Representación Gráfica

Para obtener soluciones de una ecuación con dos incógnitas, se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra:

Si las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas se interpretan como puntos del plano, entonces la ecuación se representa mediante una recta y sus soluciones son los puntos de esta.


Sistemas de Ecuaciones

Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones forman un sistema, las ponemos de esta forma:

Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común entre ambas. A veces, en lugar de decir sistema de ecuaciones, diremos, simplemente sistema. Si ambas ecuaciones del sistema son lineales, las llamaremos lineales.

Los Sistemas Equivalentes

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución. Las rectas que representan a dos sistemas de ecuaciones equivalentes son distintas pero en ambos casos se cortan en el mismo punto (2,5) por ejemplo.

Número de Soluciones de un Sistema Lineal

En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una única solución. El punto donde se cortan las dos rectas, como ya hemos visto. Sin embargo, no siempre ocurre así:

• Sistema SIN solución: Esto ocurre cuando las dos ecuaciones dicen cosas contradictorias. Los sistemas que no tienen solución se llaman incompatibles. Gráficamente son dos rectas paralelas.

• Sistemas con INFINITAS soluciones: Los sistemas que tienen infinitas soluciones se llaman indeterminados. Gráficamente son dos rectas coincidentes: Todos sus puntos son comunes.

En qué consiste la resolución de un sistema

Consiste en modificar paso a paso el sistema inicial, de modo que cada nuevo sistema sea más sencillo que el precedente. En cada caso, el nuevo sistema ha de ser equivalente al anterior. Los métodos que nos permiten obtener, eficazmente, la solución de cualquier sistema lineal son:

• MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Consiste en despejar la incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve esta ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 
5. Se obtiene la solución.

• MÉTODO DE IGUALACIÓN

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una sola incógnita.
3. Resolvemos la ecuación resultante.
4. Sustituimos el valor de la y en cualquiera de las ecuaciones del paso primero.
5. Hacer comprobación.

• MÉTODO DE REDUCCIÓN

Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.

1. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por el número que convenga).
2. Al restarlas desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación restante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve.
5. Se tiene así la solución.

Ejercicios:

1. Representa las rectas correspondientes a estas ecuaciones. a) 2x-y = 3  b) -x+y = 1

2. Tenemos 53 Céntimos de euro repartidos en 16 monedas de dos céntimos y de 5 céntimos ¿Cuántas monedas de cada clase tenemos?

3. Tenemos 76 céntimos de euro en 20 monedas de 2 y de 5 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase tenemos?

4. Representa los pares de sistemas y di si son equivalentes:

a) 3x -5y = 17
    2x + 4y =4

b) 3x - 5y = 0
    2x + 4y = 0

5. Fijándote bien en las ecuaciones que los forman, di cuál de los siguientes sistemas tiene una solución, cuál es incompatible y cuál indeterminado. Compruébalo representando las rectas.

a) x+y=5
    x+y=0

b) x+y=5
   -2x+5y=10

c) x+y=5
    2x+2y=10

d) x+y=5
    x-y=1

6. Completa los siguientes sistemas para que el primero tenga la solución x=5, y =3, el segundo sea incompatible y el tercero sea indeterminado y el cuarto también:

a) x - 4y = ___
   2x ___ = 13

b) 2x - y = 4
    4x + 2y = ___

c) 2x + y = 4
    4x+ ___= ___

d) 5x+ 11y = ___
    ___+ 33y = 9

7. Resuelve por el método de sustitución, los siguientes sistemas:

a) x+5y = 7
    3x-5y = 11

b) 5x + y = 8
    3x - 5y = 11

c) 3x + 10y= 6
    x+2y = 1

d) 5x - 3y = 50
    4x + y = 23

e) 3x+5y = 8
    3x + 4y = 1

8. Resuelve, por el método de igualación las siguientes ecuaciones:

a) x + 5y = 7
    3x-5y=11

b) 5x + y = 8
    3x - y = 11

c) 3x + 10y = 6
    x+2y = 1

d) 5x-3y=50
    4x + y = 23

9. Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas:

a) 3x + 5y = 11
    -4x - 5y = 38

b) 3x + 4y = 9
    5x + 2y = 15

c) x + 5y= 7
   3x - 5y = 11

d) 3x-5y = -26
   4x + 10y = 32

e) 5x - 3y = 50
    4x+y=234

10. Resuelve simplificando previamente:

a) 3(x-5)/2 - y-x/3 = y/6 + 3
    -3(x-y-4) - 10 = y-1

b) 2 (x-1) + 3(y+4) = 2 (3x+y) - 9
    x/2 - y/3 = 3

11. Resuelve este sistema aplicando dos veces el método de reducción:

45x - 11y =93
7x + 6y = 114

12. Dos poblaciones A y B distan 25Km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4 Km/h. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4 Km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro peatón a 6 Km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta encontrarse.

13. Dos poblaciones están a 50Km. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 5 K/h y un ciclista de B hacia A a 20 Km/h ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿qué distancia recorre el peatón?

14. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 300 Km. Un autobús sale de A hacia B a 105 Km/h. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta el momento del encuentro.

15.  Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución x=2, y =1:

a) 2x + 3y = ___
    3x - 4y  = ___

b) 3/2x + 7y= ___
    -2x - 5/2y = ___

16. Comprueba si x=-2, y= 1/2 es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 7x + 4y = -12
    3x - 2x = -7

b) x+2y= -3
    2x+6y =1

17. Resuelve por sustitución:

a) x= 2y +5
    3x - 2y = 19

b) y=5
    4x/3 + 2y/5 = 6

c) 5x - 4y =17
    6x-y = 9

d) 2x + 16 = 2y
    2y - 3x =16

18. Resuelve por igualación:

a) x = 2y/5
    x=4y-9

b) y=6x
    x= 2y-5/7

c) x+2y=5
    x-y=2

d)2y = 4x/3
   5y= 2x+2/3

e) 5+3y=2x
    x+2y=9

f) 7x-2y=8
    5x-3y=1

19. Resuelve por reducción:

a) x+y = 3
    x-y=9

b) 3x-5y= 9
    6x-2y=-6

c) 10x - 3y=1
    10x+3y=3

d) x-3y=21
    2x+5y=-35

20. Resuelve por el método que consideres más adecuado.

a) 3x = 6
5x - 4y/3 = 14

b) 6x - 3y = 5
    3x + 6y = 5

c) 5x + y = 6
    3x - 2y = 14

d) 1,2x + 0,7y= 7
    x- 0,5y = 1,5

e) 2y - x/3 = 1/15
    15x - 15y = 2

f) 5x= 2y -2
    4x = 20 - 2y

21. Resuelve los sistemas:

a) 3 (x-1) + 3 (y+4) = 2(3x+y) - 9
    x/2 - y/3 = 3

b) x+3/ y = 5
    2(x-3y) +x = 9

c) 3(x+2) -5 (y+1) = 9
    4x + 5+3y/2 = 5

d) 0,2x - 1,7y = 6,1
    1,23x + 0,8y = 3,75

22. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

23. Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80€. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20€. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas?

24. Para pagar un artículo que costaba 3€, he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase ha usado?

25. Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,3€ por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4€ por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2100 bombillas obteniendo unos beneficios de 484,4€ ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día?

26. Una empresa aceitera ha envasado 3000 litros de aceite en 1200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada una se han envasado?

27. En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5€ y bocadillos de tortilla a 2€. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149€. ¿Cuántas se vendieron de cada clase?

28. En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5 ¿Cuántos aciertos y cuántos errores ha cometido?

29. Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para un día determinado. Al planificar la producción, el gerente advierte que si fabrican 250 macetas diarias, faltarían 150 macetas al concluir el plazo que se les ha dado. Si fabrican 260 macetas diarias, entonces sobrarían 80 macetas ¿Cuántos días de plazo tenían y cuántas macetas encargaron?

30.La base mayor de una trapecio es 2cm más larga que la menor; la altura del trapecio es 8cm y su área 48cm^2 ¿Cuánto miden las bases?

31. En una parcela rectangular de 44cm de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de 2m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de 45m^2.

32. María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Marta ha comprado otro abrigo 25€ más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%, con lo que sólo ha pagado 8 € más que María. ¿Cuál era el precio de cada abrigo?

33. Un capital, colocado en el banco durante un año, ha producido un beneficio de 800€. El beneficio habría sido el mismo si el capital hubiera aumentado en 2000€ y el interés anual se hubiera disminuido en un punto ( en un 1%) ¿A cuánto asciende el capital y a qué tanto por ciento ha estado colocado?

34. Por un pantalón y unos zapatos he pagado 126€. Si el precio del pantalón aumentara en un 14%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos. ¿Cuánto pagué por cada uno?

35. He pagado 90,50€ por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 110€. En la camisa me han rebajado un 20% y en el jersey un 15% ¿Cuál era el precio original de cada artículo?

36. En un centro escolar hay matriculados 795 estudiantes entre los dos cursos de Bachillerato. El 45% de primero y el 52% de segundo son mujeres, lo que supone un total de 384 alumnas entre los dos cursos. ¿Cuántos estudiantes hay en cada curso?

37. Dos comerciantes emprenden un negocio para cuya realización fue necesario invertir 100000€. A loa hora de repartir beneficios, el primero cobró 2160€ y el segundo 1440€ ¿Qué cantidad invirtió cada uno?

38. Tres socios han obtenido un beneficio de 12.900€ ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si para inicial el negocio el primero aportó 2/3 de lo que aportó el segundo y este 5/6 de lo que aportó el tercero?

Problemas de Ecuaciones

1. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

2. Calcula tres números sabiendo que:

• El primero es 20 unidades menor que el segundo.
• El tercero es igual a la suma de los dos primeros. 
• Entre los tres suman 120.

3. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. ¿De qué número se trata?

4. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número?

5. La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 282. Halla esos números.

6. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30€. El videojuego es 5 veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el helado ¿Cuál es el precio de cada artículo?

7. Me faltan 1,80€ para comprar mi revista de informática preferida. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2€. ¿Cuánto tengo? ¿Cuánto me cuesta la revista?

8. Con 12€ que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían 4,5€. La entrada a la piscina cuesta 1,50€ menos que la del cine ¿Cuánto cuesta la del cine?

9, Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

10 . La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

11. Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el martes se gastan 2/5 de lo que quedaba, y el miércoles, 300 litros. Si aún quedó 1,10 ¿Cuál es su capacidad?

12. En el mes de agosto, cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad. En septiembre, no llovió y se gastó 1/5 del agua que tenía. En octubre se recuperaron 700 000m^3, quedando llenos en sus tres cuartas partes ¿Cuál es su capacidad?

13. Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1400€ como pago de cierto trabajo. ¿Cuánto debe cobrar el primero si el segundo trabajó 2/5 partes que el otro?

14. Roberto y Andrés compran una camisa cada uno, ambas del mismo precio. Roberto consigue una rebaja del 12% mientras que Andrés solo consigue el 8%. Así uno paga 1,4€ más que el otro ¿Cuánto costaba cada camisa?

15. Si un número aumenta en un 10%, resulta 42 unidades mayor que si disminuye en un 5%. ¿Cuál es ese número?

16. Calcula el capital que, colocado al 8% durante dos años, se convierte en 2900€ (los intereses se suman al capital al final de cada año).

17. ¿Durante cuántos años se ha de colocar un capital de 2380€, con un interés anual del 3%, para conseguir un beneficio de 357€?

18. Un inversor pacta la compra de un terreno, valorado en 24000€, mediante dos pagos: el primero, de 12000€, a la firma de las escrituras, y el segundo, de 12300€, seis meses más tarde ¿Con qué interés se penaliza la demora?

19. Un inversor que dispone de 28000€, coloca parte de su capital en un barco al 8%, el resto, en otro banco, al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 210€ más que la segunda, ¿Cuántos litros había en el bidón?

20. Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1,6€/L, en una tinaja que contenía 400 litros de aceite de oliva de 3,2 €/L. Sabiendo que el litro de la mezcla cuesta 2,60€/L ¿Cuántos litros había en el bidón?

21. ¿Cuántos litros de agua de grifo, a 15ºC, hay que añadir a una olla que contenía 6 litros de agua a 60ºC, para que la mezcla quede a 45ºC?

22. Mezclando 15Kg de arroz de 1€/Kg con 25Kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 1,30 €/Kg ¿Cuál será el precio de la segunda clase de arroz?

23. Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resultando la mezcla a 3,20€/Kg. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que el de más calidad es el doble de caro que el otro.

24. Un ciclista que va a 18Km/h tarda 45m en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de 6Km ¿Qué velocidad lleva el que va delante?

25. Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15Km/h, ¿Qué velocidad deberá llevar el otro ciclista si sale media hora después y pretende alcanzar al primero en hora y media?

26. Un coche sale de una ciudad A, hacia otra B distante 315 Km, a una velocidad de 105 Km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión que tarda en cruzarse con el coche una hora y 45min. ¿Cuál era la velocidad del camión?

Ejercicios de Ecuaciones

1. Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3/5 (x-1) - 1/3 (x+1) + 1/2 = 1/6 (x-1) + 2/5
b) 3x/x+1 + 4/x+2
c) (1-x)^3 - 4x = -9
d) 2^1-x = 1/8

2. Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido:

a) 3x-5/4 = 1
b) 7 - x+4/3 =2
c) 1/x + 1/x + 1/x = 3
d) (x-1)^3 = 8
e) (x-2)^2 = 81
f) x^4-1 / 2
g) 3^x-5 = 9
i) √x+13=5
j) √2x-1=3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)(x-5)(x+2) = 0
b) x(3x-4)=0
c)3(x-1)^2=0
d)(2x-1)^2/3=0

4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:

a) 12x - 8 = 34 + 5x
b) 4(2-x) - (4-x) = 7(2x+3)
c) 2[x+3(x+1)] = 5x
d) 5(x-2)-2(x-5)= 2x - (2+3x)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1/2 + 1/3x = x- 1/6
b) 3x-3/4 = 3+4/3
c) 3(x+3)/2 - 2(2-3x) = 8x-1-2(x+3)
d) 3x+3/4 - 3x-2/3 = 1/6 +  x+3/12
e) x+7/2 - 7-x/6 = x-7/12 + 7
f) 5+x/4 - 5-x/5 = 1+x/4 -1

6. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2/3 (x+3) - 1/2 (x+1) = 1 - 3/4 (x+3)
b) 1/2 - 2 (x-3/4) + 4x = 2x - 1/3 (4x-3)
c) 5/8 + 3/2 [1/2x (2/4x + 1/6) - 5/2] = 3/4 (x-1/3) - x

7. Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución:

a) (x+1) (x-1) - 3(x+2) = x(x+2)+4
b) (2x+3)^2 - (2x-3)^2 = x(x+3) - (x^2+1)
c) (x-1/3) (x+1/3)-x (x+1/6) = 1/3 (x-2)
d) (x+1)^2 - (x+2)(x-3) + 5/4x - 9/2x =25

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin usar la fórmula de resolución:

a) 7x^2-21x=0
b) x+2x^2=0
c) 2x^2 - 7x=0
d) 2/5x^2 + 4x= 0
e) x= 4x^2
f) 8x^2 - 18 = 0
g) 4x^2 - 1=0
h) 3x^2 - 6 = 0
i) 100x^2 - 16=0
j) 2x^2 - 50 = 0

9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 9x + 14= 0
b) 4x^2 - 4x + 1 = 0
c) 2x^2 - 7x = 0
e) 2/5 x^2 + 4x= 0
f) x= 4x^2
g) (x+1)^2 - 3x = 3
h) (2x-3) (2x+3) - x (x-1) =5
i) (2x + 1)^2 = 1+ (x+1)(x-1)
j) (x+4)^2 - (2x-1)^2 = 8x
j) x(x-3)/2 + x(x-2) / 4= (3x-2)^2/ 8 -1
k) 3/2 (x/2 - 2)^2 - x-1/8 = 1/8 - x-1/4

10. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 0,4x - 3,2 = 1,65x + 0,8
b) 1,2x - 4,5 / 0,2 = x-2,4 / 0,5
c) 5(x-2)^2 - 500 = 0
e) (x-4) (x-0,5) = 0
d) x+4/6 - 2(x+1) / 9 = x-2/ 6 - 11+ 9x/18
f) x^2 - 3,2x = 0
g) (3x-2)^2 / 4 = 16
h) 3x^2 - 0,75 = 0
i) 0,2x^2 + 1,6x - 4= 0
j) 2/3x^2 - x/2 + 1/12 = 0

Inecuaciones

"Desde la mesa hasta la estantería, mido 5 palmos y aún me quedan por llegar. Si desde el suelo subo 9 palmos, sobrepaso la estantería. La mesa tiene 70 cm de alta; la estantería, 180cm. ¿Qué puedo decir de la longitud de mi palmo?"

En este enunciado se dice algo que "sobrepasa" o no llega en lugar de que es igual. ¿Cómo operar con estas expresiones?

La primera relación dice que la altura de la mesa más 5 veces la longitud de mi palmo es menor que la altura de la estantería y lo expresaríamos así:  70 + 5x < 180. Mientras que la segunda relación sería: 9x > 180

Las relaciones numéricas que se expresan con los signos <,>.  Se llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones.

Se resuelve con el mismo método que las ecuaciones salvo por el signo = que será reemplazado por (< o >)  y salvo en el caso  en que si en cualquiera de los pasos se multiplican o se dividen los dos miembros de una inecuación por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.

Cualquier número que cumpla la condición de una inecuación será la solución de la misma.

También pueden representarse de una forma gráfica:

Ejercicios:

1. Escribe una inecuación para cada enunciado:

a) He gastado más de 5€ en 3Kg de tomates.

b) Con 10€ tengo suficiente para 5Kg de peras.

2. Di tres soluciones de cada inecuación:

a) 4x<20

b) 3x+1<_ 7

c) 40-x > 28

d) x+2/3 >_ 2

3. Resuelve y representa gráficamente la solución:

a) 5x< -5

b) 2x+3 >_ 7

c) 2x-4/3 <_ 2x+8

d) 104 - 9x >_ 4(5x-3)

e) 3(4-x) >_18x-5

f) x/4-4 >_ 5x/3 - 1/6

g) 3x-12 < 5x-6 / 4

h) 4-2x/3 > 2(x-3)

4. Salgo de mi casa con 10€. Gasto 1€ en el autobús y debo guardar 1€ para la vuelta. Veo en una papelería cuadernos de 2,5€ ¿Cuántos puedo comprar?

5. Ramón y Nuria han medido la pizarra a palmos. Ramón ha contado entre 16 y 17 palmos. Nuria cuenta más de 17, pero no llega a 18. Si el palmo de Ramón mide 19,5 cm y el de Nuria 18cm, ¿Cuánto mide la pizarra?

Resolución de Problemas Mediante Ecuaciones

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene seguir estos pasos:

1. Identificar los datos conocidos, los que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita.
2. Relacionar mediante una igualdad lo conocido con lo desconocido.
3. Resolver la ecuación.
4. Interpretar la solución ajustándola al enunciado.


Ejercicios

1. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.

2. La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su área mide 600cm^2. Calcular las dimensiones de un rectángulo.

3. Se mezclan 30Kg de café de 6€/Kg con cierta cantidad de café superior de 8€/Kg, resultando una mezcla de 7,25€/Kg ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado?

4. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2cm menos que la hipotenusa y 14cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados.

5. Un repostero ha mezclado 12 Kg de azúcar de 1,1€/Kg con una cierta cantidad de miel, de 4,2€/Kg. La mezcla sale a 2,34€/Kg. ¿Cuánta miel mezcló?

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado es de la siguiente forma:

Estas ecuaciones han de resolverse con una herramienta esencial, esta herramienta es una fórmula que deberás memorizar:

El doble signo (+ -) quiere decir que puede haber dos soluciones, y se debería resolver dos veces. Una empleando el signo positivo y otra el negativo. Si queremos visualizar un ejemplo de una ecuación de segundo grado con solución sería de esta forma:

Número de soluciones

Una ecuación de Segundo Grado puede tener resultar tener:

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Las ecuaciones de Segundo Grado ax^2 + bx + c = 0 en las que los coeficientes b o c son cero, se llaman incompletas. Aunque se pueden resolver aplicando la fórmula, también es posible hacerlo de forma mucho más sencilla.

Para las ecuaciones sin término en x o más bien llamado, término b, se utiliza esta fórmula:

Para las ecuaciones sin término independiente o c se utiliza la siguiente fórmula:

Reglas para resolver ecuaciones de 2º Grado

1. Si la ecuación de segundo grado está completa (tiene todos sus términos), aplica la fórmula.
2. Si es una ecuación incompleta, tal y como hemos visto, puedes resolverla con las fórmulas anteriores.
3. Si tiene una fisionomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer término. Sólo cuando esté simplificada aplica la fórmula.
4. Comprueba las soluciones. Si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 6x + 5 = 0
b) x^2 - 5x + 6 = 0
c) 6x^2 - 5x + 1 = 0
e) 4x^2 - 4x + 1 = 0
f) x^2 - x + 1 = 0
g) 5x^2 + 7x = 0
h) 4x^2 - 9 = 0

2. Resuelve estas ecuaciones:

a) 3x^2 - 75 = 0
b) 2x^2 + 10 = 0
c) 7x^2 - 5x = 0
d) 3(x^2 + 5) = x^2 + 40
e) 5x^2 - 5 = 0
f) 5x^2 + 5 = 0
g) 7x^2 + 5 = 18
h) 2x^2 - 6x = 0
i) 5x^2 + 7x = 0
g) 3x^2 - 2(x-5) = (x+3)^2 - 19

3. Resuelve la ecuación:

(x+2)^2 / 5 - x^2-9/4 = (x+3)^2/2 + 1/5

4. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3cm más largo que el mediano, y este, 3cm más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados?

5. Resuelve:

a) (5x-4)(2x+3)=5
b) x^2-3x / 2 - 5 = x-20/4

6. El producto de un número natural por el siguiente es 272. Calcula dichos números.

7. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.

Ecuaciones de Primer Grado

A las ecuaciones polinómicas de primer grado se les llama, simplemente de primer grado. En ellas, la x sólo aparece elevada a 1 (x^1 = x) Por ejemplo:

Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo a diferente a 0.

Las ecuaciones de primer grado tienen una única solución, que se obtiene despejando la incógnita. Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones.

Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones.

Ecuaciones Equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución o ambas carecen de solución:

Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones:

Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que x esté más próxima a ser despejada.

PASOS PARA DESPEJAR UNA INCÓGNITA

1. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su m.c.m.
2. Quitar paréntesis, si los hay.
3. Pasar los términos en x a un miembro y los números a otro miembro.
4. Simplificar cada miembro.
5. Despejar la x. Se obtiene así la solución.
6. Comprobación. Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

• x/15 + x = 2x/5 + 10
• x/2 + x/4 + x/8 = 3x/4 + 1/4
• x + 2x-3/9 + x-1/3 = 12x+4/9
• 3(x+2)/4 + 3x+5/2 = 5(x+1)/6 + 25/12
• x- 6x-4/5 = x-3
• 5 - 6x-4/5 = x-3
• x/3 - x-1/2 = x-13/9
• x-1/4 + 3x - x+7/6 = 4x+7/9 + 11
• (2x-4)^2/8 = x(x+1)/2 +5
• 21-x/5 + 2x-7/15 = 8 - 5x-5/10
• 3(x-4)/4 - x = x-3
• (x+1) (x-1) / 3 = 2 ( x^2 + 1) /6
• (2x-2) (2x+2) = 7x+2/3 + (2x)^2
• 25/3 (x-1) + 2x-7/4 = 5/2 (x-6) + 45/4

Ecuaciones

Una ecuación, más que una igualdad, es una propuesta de igualdad en la que solo interviene una letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene solución.

Tipos de ecuaciones

• Ecuaciones polinómicas. La incógnita aparece solamente en expresiones polinómicas.

• Con radicales:

• Con la x en el denominador:

• Ecuaciones con la x en el exponente:

Ejercicios:

1. ¿Es el valor 5 solución de alguna de estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a) 7x+1=34

b) x^4-400=325

c) 10x+25=x^3

d) 1^x =5

e) (x+7)^2=144

f)  x^2+6x+5=0

g)  x^2+7=4x+12

h) 2^x=32

i)  x^3+x^2+x+1=156

j)  3(x^2+1)=78

2. En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y dí cuál es su grado.

Ejercicios de Polinomios e Identidades

1. Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios y di cuales son semejantes:

a)-7x^2
b) 5/3x
c)(1/2x)^2
d)-6x
e)7x^3
f)2/3x · 4x^2
g)5/3 x^2

2. Efectúa:

a) 5x^2 - 3x^2 - x^2
b) -2x + 7x - 10x
c) -x^3 - 2x^3 + 2x^3
d) x - 2x/5 - 1/3x
e) 3x - 2/5x - x/2
f) 5/3 x^2 - x^2 + x^2/2

3. Simplifica estas expresiones:

a) 2x^3 - 5x + 3 -1 - 2x^3 + x^2
b) (2x^2 + 5x - 7) - (x^2 - 6x + 1)
c) 3x - (2x+8) - (x^2 - 3x)
d) 7 - 2(x^+ 3) + x(x-3)

4. Efectúa y reduce:

a) 3x^2 · 5x + 2x(-3x^2)
b) 3/5x^2 (-2/3x^3)
c) x^3/3 - 2x/3x^2
d) 6x^3 - x^4/x^2

5. Opera y simplifica:

a) (2x)^3 - (3x)^2 · x - 5x^2 (-3x+1)
b) 5/3 (4/4x) - (4x) - 1/2 (4x^2 - 5)
c) (2x^2 - x + 3) (x-3)
d) (-x^2 + 3x - 5) (2x-1)

6. Considera estos polinomios:

A. x^4 - 3x^2 + 5x - 1
B. 2x^2 - 6x + 3
C. 2x^4+x^3 - x - 4

A+B ; A+C ; A+C+B; A-B; C-B

7. Multiplica:

a) (x^2- 5x-1)·(x-2)
b) (3x^3-5x^2+6)·(2x+1)
c) (2x^2+x-3)·(x^2-2)

8. Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) (x+7)^2
b) (x-11)^2
c) (2x+1)^2
d) (3x-4)^2
e) (2/5x-5)^2
f) (2/5 + 4x)^2

9. Extrae factor común:

a) 5x+10x^2
b) -x^2+x-3x^3
c) 3x^2-6x+9x^2
d) 2x^3-4/3x^2+2x
e) a(x-1)+b(x-1)+c(x-1)
f) x^2(x-1)+x^2(x-2)+x^2(x-3)
g) 2x(y-1)+x(y-1)-x(y-1)

10. Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (x-3y)^2
b) (x/3-y/2)^2
c) (3x+2x^2)^2
d) (x-1/2x)^2
e) (5x/2+x^2)^2
f) (3/2x - 1/4y)^2

11. Multiplica:

a) (x+7)(x-7)
b) (1+x)(1-x)
c) (3-4x)(3+4x)
d) (2x-1)(2x+1)
e) (1/3-2x^2)(1/3+2x^2)
f) (3/2x - 1/4y)^2

12. Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (3x+1/2)(3x- 1/2)
b) (x^2+1)(x^2-1)
c) (x/2+y)(x/2-y)
d) (x^2-x)(x^2+x)

13. Reduce las siguientes expresiones:

a) 3(x+3) / 2 - 2(2-3x) + 2(-x+3)
b) 3x+3 / 4 - 3x-2 / 3 - x+3 / 12
c) x+7 / 2 - 7-x / 7 - x-7 / 12

14. Reduce las siguientes expresiones:

a) (x+1) ( x-1) - 3(x+2) - x(x+2)
b) (2x+3)^2 - (-2x+3)^2
c) 5+x / 4 - 5-x / 5 - 1+x / 4
d) 2/3(x+3) · (x+ 1/3) - 1/3 ( x^2 + 1)
e) (x-1/3)(x+1/3)-1/3 (x^2+1)
f) (x+1)^2 - (x-2)(x-3)-5/4x
g) x(x-3)/2 + x(x-2)/4 - (3x-2)^2 / 8
h) 3/2 (x/2-2)^2
i) 5/8 + 3/2 [x/2 - (x/4 + 1/6) - 5/2]

15. Opera y simplifica

a) (x+ 1/2)^2 - (x-1/2)^2
b)  (x^2 - 3x + 4) - (x+2)^2
c) (2x/3 + 1)^2 - (2x/3 + 1) (2x/3 + 1) (2x/3-1)
d) (4/5x + 2/3) (4/5x - 2/3) - (4/5x-2/3)^2

16. Multiplica por 24 y simplifica el resultado:

x+5 / 3 - 2x+7 / 4 + 3(2x-1) / 8

17. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

2 - 3(x-2) / 6 + 4x - (2x+1 / 3 + 4)

18. Multiplica la siguiente expresión por el m.c.m de los denominadores y simplifica el resultado:

2(x+4) / 3 - 3(2x+2) / 5 + 3x-2

19. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

(x+4)^2 / 3 - (2x-1) ^2 / 2

20. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:

a) x^2 + 4x + 4
b) x^2+9+6x
c) 4x^2 + 4x+1
d) 9x^2 - 12x + 4
e) 9x^2 - 10x + 25
f) x^2 + 49 - 14x
g) 4x^2+ 9 -12x
h) x^4 + 4x^2+ 4

21. Expresa como producto de una suma por una diferencia:

a) 9x^2 - 25
b) 16x^2 - 1
c) 1- x^2
d) x^4- 16
e) 4x^2 - 9
f) 49 - 4x^2

22. Transforma en producto:

a) x^3 + 6x^2 + 9x
b) x^4 - 16x^2
c) 4x^3 + 4x^2 + x
d) x(x-1) + x(x+2)
e) x^3 -x
f) 3x^4 - 24x^3 + 48x^2

Identidades

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para los valores cualesquiera de las letras que intervengan.

Identidades notables

Se suelen llamar así a las tres igualdades siguientes:

Utilidad de las identidades notables

Para trabajar las matemáticas, hemos de ser capaces de "crear identidades ventajosas", es decir, debemos operar convenientemente con las expresiones algebraicas.

a^n·a^b = (a·b)^n

a · (b+c) = a·b+a·c

a- (b+c) = a-b-c 

Ejercicios

1. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1)^2

b) (x+3)^2

c) (x-3)^2

d) (2x-1)^2

e) (5x+2)^2

f) (5x+2y)^2

2. Expresa en forma de producto:

a) x^2+2x+1

b) x^2+4+4x

c) 4x^2+9+12x

3. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1) (x-1)

b) (x+3)(x-3)

c) (2x-5)(2x+5)

d) (x^2+2)(x^2-2)

4. Expresa en forma de producto:

a) x^2-2x+1

b) x^2-4

c) x^2-1

d) 4x^2-9

e) 16y^2-x^2

f) x^2-1

g) x^2/4 + x + 1

5. Multiplica la siguiente expresión por 15 y simplifica el resultado:

x/15 + x - 2x/5 - 10

6. Multiplica por 8 y simplifica el resultado:

x/2 + x/4 + x/8 - 3x/4 - 1/4

7. Multiplica por 9 y simplifica el resultado:

x + (2x-3/9) + (x-1/3) - (12x+4/9)

8. Multiplica por 12 y simplifica el resultado:

3(x+2)/4 + 3x+5/2 + 5(4x+1)/6 + 25/12

9. Multiplica por 5 y simplifica el resultado:

5- 6x-4/5 - (x-3)

10. Multiplica por 18 y simplifica el resultado:

x/3 - x-1/2 - x-13/9

11. Multiplica por 36 y simplifica el resultado:

x-1/4 + 36 - x+7/6 - (4x+7/9 + 11)

12. Multiplica por 8 y simplifica los resultados:

(2x-4)^2/8 - x(x+1)/2 - 5

13. Multiplica por 20 y simplifica el resultado:

(x+2)^2/5 - x^2-9/4 + (x+3)^2/2 + 1/5

14. Simplifica:

a) (x+3)^2 - [x^2+(x-3)^2]

b) (5x-4)(2x+3)-5

c) 3(x^2+5)- (x^2+40)

d) 3x^2-2(x+5)-(x+3)^2+19

Polinomios

• Un Polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los dos monomios que lo forman se llama término. 
• Puede haber varios monomios semejantes. Conviene operar con ellos simplificando la expresión.
• Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados que componen el monomio en su forma reducida. Es necesario reducir el polinomio antes de reducir ya que los mayores puede que desaparezcan.

Suma y Resta de Polinomios

Agrupamos sus términos y simplificamos los monomios semejantes:

Producto de un Monomio por un Polinomio

Se multiplican el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Productos de dos Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y después se suman los monomios semejantes obtenidos.

Sacar Factor Común

En la expresión 3xy + 6x^2z+ xyz, la x está multiplicando en todos los sumandos. Es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera de este modo:

3xy + 6x^2z + xyz = x ( 3y + 6xz + yz)

A esta operación se la llama sacar factor común.

Ejercicios

1. Di el Grado de cada uno de estos polinomios:

a) x^5-6x^2+3x+1

b) 5xy^4+2y^2+3x^3y^3-2xy

c) x^2+3x^3-5x^2+x^3-3-4x^3

2. Sean P= x^4-3x^3+5x+3, Q=5x^3 +3x^2-11

Halla P+Q y P-Q

3. Halla los productos siguientes:

a) x(2x+y+1)

b) ab (a+b)

c) x^2y (x+y+1)

d) 6x^2y^2 (x^2-x+1)

e) 3a^2b^3)a-b+1)

f) 2a^2 (3a^2+5a^3)

g) 5(3x^2+7x+11)

h) 5xy^2(2x+3y)

i) -2 (5x^3+3x^2-8)

j) -2x (3x^2-5x+8)

4. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica:

a)3(x^3-5x+7) - (2x^3+6x^2+11x+4)

b) 2x(3x^2-5x+1) + 5(3x^2-5x+1) - 21/4x^2

c) 8· [3(x+2)/2 - y-x/2 - y/6 - 3]

d) 6· [ 3(x-5)/2 - y-x/2 - y/6-3]

e) -3(x-y-4)/7 - 10 - (y-1/3)

f) 2(x-1) + 3(y+4) - 2(3x+y)/5 + 9

g) (3x^3-2x^2+11) x^2-3/21

h) (x^2/2 - 3x + 1/3) · (6x^2 - 6) + (x^3-11x+31)

5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 3x^2+6x

b) a^4-3a^2

c) (x+1)a+(x+1)b-(x-1)

d) 6x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

e) x(x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

f) x/2(x-+5)-x/2

g) x/3-(x^2+1)x

h) x^2+1/3-x^2+1/5

i) xy/5-3xy(3x+1)

j)xy^2(x+1)-xy/2 (x+1)

El lenguaje Algebraico

Trabajar el lenguaje algebraico consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan con letras. Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

• Monomios : 3x>2
• Polinomios: 2x>2 - 7x +1

Algunas expresiones algebráicas son igualdades:

• Identidades: 3(x+4)= 3x+12. La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.
• Ecuaciones: 3 (x+4) = 27. La igualdad sólo es cierta para algún valor de x. En este caso x=5.

Para comenzar a trabajar con identidades y ecuaciones, cabe saber en primer lugar los formalismos algebraicos, estos consisten en:

1. El factor 1 no se escribe  1·x = x
2. El exponente 1 tampoco se escribe x>1 = x
3. El divisor 1 tampoco se pone x/1 =x
4. El signo de multiplicación tampoco se pone.
5. El número SIEMPRE delante de la letra.
6. Tener presente la propiedad distributiva.

Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un determinado problema, se obtienen expresiones algebraicas como:

• Monomios
• Polinomios
• Identidades
• Ecuaciones

Algunos Ejercicios:

1. La edad de Ángel, dentro de 15 años, será el doble de la que entonces tenga Marisa.

2. Si gasto 2/5 de lo que tengo y además 60€, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.

3. Expresa mediante una ecuación la siguiente relación: "La edad de Ángel dentro de 5 años será el cuádruple de la que tiene ahora Marisa".

4. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:

a) A un número le quitas 7

b) El doble de un número mas su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

5. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso.

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es la mitad del ancho 

c) La altura es 20cm menos que el ancho

d) La altura es los 3/4 del ancho

e) La altura es un 20% menor de su ancho

Cálculos con Porcentajes

• Cálculo de un tanto por ciento de una Cantidad

Para hallar el tanto por ciento de una cantidad, expresamos el tanto por ciento en forma decimal y multiplicamos por él.

Por ejemplo: 

                   

                                             

• Obtención del tanto por ciento correspondiente a una porción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, A, respecto a un total, B, efectuamos:

Como ejemplo aplicaremos:

• Cómo se calculan aumentos porcentuales

El aumento por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama Índice de Variación. En los aumentos porcentuales, el Índice de Variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

Para calcular el valor final, halla el Índice de Variación y multiplícalo por la cantidad inicial.

Como ejemplo:

Un libro de 20€ aumenta su precio un 12% ¿Cuánto vale ahora?

                    Aumento -->  20 · 0,12 = 2,40€
                    Precio Final --> 20 + 2,40 = 22,40€

• Disminuciones porcentuales

En una disminución porcentual, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal. Para calcular una disminución porcentual, se multiplica la cantidad inicial por el Índice de Variación.

Como Ejemplo:

Un traje Valía 240€  y se rebaja un 25% ¿Cuánto vale?

          Si al 100% le quitamos 25% queda 75%. Su precio final es 240· 0,75= 180€

• ¿Cómo se calcula la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final?

Si conocemos la cantidad final que resulta después de haber aplicado una variación porcentual, la cantidad inicial se obtiene dividiendo la cantidad final por el índice de Variación.

                                                                       CI= CF : IV

Como ejemplo:

Después de haber aumentado su valor un 40%, el precio de una nevera es el 560€ ¿Cuál es el precio antes de la subida?

          PI · 1,40 = PF      --->   560·1,40=400€
          PI= PF · 1,40       --->   560=400:1,40 

• Encadenamientos de aumentos o disminuciones porcentuales

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de las sucesivas variaciones.

Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas "rebajas" del 25%, aumenta el 25% el precio de referencia de los artículos. ¿Cuál será el verdadero descuento?             

                                               

                                                (C·1,25)·0,75=C·0,9375

Por tanto hay un descuento total de  0,93758 - 1 = - 0,0625 = 6,25%

Ejercicios para practicar:

1. Calcula:

A) 12% de 500

B) 110% de 2980

C) 10% de 2980

D) 8,5% de 250

E) 43% de 5800€

F) 180% de 28300

2. Calcula el tanto por ciento que representa:

a) 3624 respecto a 15800

b) 96 respecto a 480

c) 850 respecto a 5000

d) 72,25 respecto a 850

3. El 64% de los 875 alumnos de un colegio están matriculados en Ed. Secundaria. ¿Cuántos de ellos son de otros cursos?

4. Un pantano contenía en enero un millón de metros cúbicos de agua y estaba lleno. Sus reservas se redujeron en abril al 80% y en agosto al 30%. ¿Cuántos metros cúbicos contenía en abril y en agosto?

5. En un pantano había 340hl de agua. Este verano ha disminuido un 43%. ¿Cuánta agua queda en el pantano?

6. Ciertas acciones valían a principios de este año 7,85€, pero han subido un 120% ¿Cuánto valen ahora?

7. El número de parados, 184300, que había en una comunidad autónoma ha disminuido el 19% ¿Cuántos parados hay ahora?

8. En las rebajas de enero, hemos comprado un cuadro por 175€, una bicicleta por 84€ y un libro por 14€ ¿Cuánto nos habría costado antes de las rebajas si todos los artículos tienen disminuido su precio en un 30%?

9. En unas rebajas en las que se hace el 30% de descuento, Álvaro ha comprado un reloj por 49€ ¿Cuál era su precio inicial?

10. ¿Cuánto mide una goma que, al estirarla, aumenta su longitud en un 30% y, en esta posición mide 104cm?

11. Después de distribuir el 27% de las cajas que había en un almacén, han quedado 38690 ¿Cuántas cajas había?

12. Un comerciante aumenta el precio de sus productos un 40% y, después, pretendiendo dejarlos al precio inicial, los rebaja un 40%.
       a) Una chaqueta que inicialmente costaba 100€, ¿Cuánto costará en cada caso del proceso?
       b) ¿Cuál es la variación porcentual que sufren los artículos con respecto al precio inicial?

13. Un capital de 28000€ se deposita en un banco de modo que da un interés del 10% al año. ¿En cuánto se habrá convertido al cabo de 3 años?

14. Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas rebajas del 25%, aumenta el 25% el precio de referencia de los artículos, ¿Cuál será el verdadero descuento?

15. El precio inicial de una enciclopedia era de 480€, y a lo largo del tiempo ha sufrido variaciones: subió un 10%, luego subió otro 22% y, al final, bajó un 30%.

      a) ¿Cuál era su precio actual?
      b) ¿Cuál es el índice de variación final?
      c) ¿A qué porcentaje de aumento corresponde?

16. El precio de un artículo sin IVA es de 724€. Si he pagado 841€ ¿Qué porcentaje de IVA me han cargado?

17. Se han pagado 45€ por una entrada para un partido adquirida en la reventa. Si el revendedor ha cobrado el 180% del precio original ¿Cuánto costaba en taquilla?

18. Un litro de gasolina costaba en enero 0,88€, pero ha sufrido dos subidas en los últimos meses, la primera de un 5% y la segunda, un 4% ¿Cuánto cuesta ahora un litro de combustible?

19. El precio del aluminio que se emplea en las ventanas ha subido dos veces este año. La primera un 15% y la segunda un 8%. Pero en el último trimestre ha bajado un 6% ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida al cabo del año?

20. De los 240 viajeros que ocupan un avión, el 30% son asiáticos, el 15% africanos, el 25% americanos y el resto europeos. ¿Cuántos europeos viajan en el avión?

21. Un cine tiene 520 butacas ocupadas, lo que supone el 65% del total. ¿Cuál es la capacidad del cine?

23. Calcula el coste final de todos estos artículos, teniendo en cuenta la rebaja que se anuncia (15% de rebajas en):

Chaqueta 108€
Guantes 22,4€
Zapatos 62€
Calcetines 4,28€
Pantalones 54€

24. He pagado 16,28€ por una camisa que estaba rebajada un 12% ¿Cuánto costaba la camisa en rebaja?

25. Un panadero vende pan de un Kilo a 2,10€ y la barra de cuarto de Kilo a 0,40€. Si ha decidido subir sus productos un 12% ¿Cuáles serán los nuevos precios?

26. A María, en su factura del agua, le aplican un recargo del 10% sobre el coste total por exceso de consumo, un descuento del 15%, también sobre el total, por ser empleada de la compañía suministradora, y a la cantidad resultante se le aplica un 16% de IVA ¿Cuánto tendrá que pagar finalmente si, según el contador, la cuota era de 120€?