Ecuaciones

Una ecuación, más que una igualdad, es una propuesta de igualdad en la que solo interviene una letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene solución.

Tipos de ecuaciones

• Ecuaciones polinómicas. La incógnita aparece solamente en expresiones polinómicas.

• Con radicales:

• Con la x en el denominador:

• Ecuaciones con la x en el exponente:

Ejercicios:

1. ¿Es el valor 5 solución de alguna de estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a) 7x+1=34

b) x^4-400=325

c) 10x+25=x^3

d) 1^x =5

e) (x+7)^2=144

f)  x^2+6x+5=0

g)  x^2+7=4x+12

h) 2^x=32

i)  x^3+x^2+x+1=156

j)  3(x^2+1)=78

2. En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y dí cuál es su grado.

Ejercicios de Polinomios e Identidades

1. Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios y di cuales son semejantes:

a)-7x^2
b) 5/3x
c)(1/2x)^2
d)-6x
e)7x^3
f)2/3x · 4x^2
g)5/3 x^2

2. Efectúa:

a) 5x^2 - 3x^2 - x^2
b) -2x + 7x - 10x
c) -x^3 - 2x^3 + 2x^3
d) x - 2x/5 - 1/3x
e) 3x - 2/5x - x/2
f) 5/3 x^2 - x^2 + x^2/2

3. Simplifica estas expresiones:

a) 2x^3 - 5x + 3 -1 - 2x^3 + x^2
b) (2x^2 + 5x - 7) - (x^2 - 6x + 1)
c) 3x - (2x+8) - (x^2 - 3x)
d) 7 - 2(x^+ 3) + x(x-3)

4. Efectúa y reduce:

a) 3x^2 · 5x + 2x(-3x^2)
b) 3/5x^2 (-2/3x^3)
c) x^3/3 - 2x/3x^2
d) 6x^3 - x^4/x^2

5. Opera y simplifica:

a) (2x)^3 - (3x)^2 · x - 5x^2 (-3x+1)
b) 5/3 (4/4x) - (4x) - 1/2 (4x^2 - 5)
c) (2x^2 - x + 3) (x-3)
d) (-x^2 + 3x - 5) (2x-1)

6. Considera estos polinomios:

A. x^4 - 3x^2 + 5x - 1
B. 2x^2 - 6x + 3
C. 2x^4+x^3 - x - 4

A+B ; A+C ; A+C+B; A-B; C-B

7. Multiplica:

a) (x^2- 5x-1)·(x-2)
b) (3x^3-5x^2+6)·(2x+1)
c) (2x^2+x-3)·(x^2-2)

8. Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) (x+7)^2
b) (x-11)^2
c) (2x+1)^2
d) (3x-4)^2
e) (2/5x-5)^2
f) (2/5 + 4x)^2

9. Extrae factor común:

a) 5x+10x^2
b) -x^2+x-3x^3
c) 3x^2-6x+9x^2
d) 2x^3-4/3x^2+2x
e) a(x-1)+b(x-1)+c(x-1)
f) x^2(x-1)+x^2(x-2)+x^2(x-3)
g) 2x(y-1)+x(y-1)-x(y-1)

10. Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (x-3y)^2
b) (x/3-y/2)^2
c) (3x+2x^2)^2
d) (x-1/2x)^2
e) (5x/2+x^2)^2
f) (3/2x - 1/4y)^2

11. Multiplica:

a) (x+7)(x-7)
b) (1+x)(1-x)
c) (3-4x)(3+4x)
d) (2x-1)(2x+1)
e) (1/3-2x^2)(1/3+2x^2)
f) (3/2x - 1/4y)^2

12. Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (3x+1/2)(3x- 1/2)
b) (x^2+1)(x^2-1)
c) (x/2+y)(x/2-y)
d) (x^2-x)(x^2+x)

13. Reduce las siguientes expresiones:

a) 3(x+3) / 2 - 2(2-3x) + 2(-x+3)
b) 3x+3 / 4 - 3x-2 / 3 - x+3 / 12
c) x+7 / 2 - 7-x / 7 - x-7 / 12

14. Reduce las siguientes expresiones:

a) (x+1) ( x-1) - 3(x+2) - x(x+2)
b) (2x+3)^2 - (-2x+3)^2
c) 5+x / 4 - 5-x / 5 - 1+x / 4
d) 2/3(x+3) · (x+ 1/3) - 1/3 ( x^2 + 1)
e) (x-1/3)(x+1/3)-1/3 (x^2+1)
f) (x+1)^2 - (x-2)(x-3)-5/4x
g) x(x-3)/2 + x(x-2)/4 - (3x-2)^2 / 8
h) 3/2 (x/2-2)^2
i) 5/8 + 3/2 [x/2 - (x/4 + 1/6) - 5/2]

15. Opera y simplifica

a) (x+ 1/2)^2 - (x-1/2)^2
b)  (x^2 - 3x + 4) - (x+2)^2
c) (2x/3 + 1)^2 - (2x/3 + 1) (2x/3 + 1) (2x/3-1)
d) (4/5x + 2/3) (4/5x - 2/3) - (4/5x-2/3)^2

16. Multiplica por 24 y simplifica el resultado:

x+5 / 3 - 2x+7 / 4 + 3(2x-1) / 8

17. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

2 - 3(x-2) / 6 + 4x - (2x+1 / 3 + 4)

18. Multiplica la siguiente expresión por el m.c.m de los denominadores y simplifica el resultado:

2(x+4) / 3 - 3(2x+2) / 5 + 3x-2

19. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

(x+4)^2 / 3 - (2x-1) ^2 / 2

20. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:

a) x^2 + 4x + 4
b) x^2+9+6x
c) 4x^2 + 4x+1
d) 9x^2 - 12x + 4
e) 9x^2 - 10x + 25
f) x^2 + 49 - 14x
g) 4x^2+ 9 -12x
h) x^4 + 4x^2+ 4

21. Expresa como producto de una suma por una diferencia:

a) 9x^2 - 25
b) 16x^2 - 1
c) 1- x^2
d) x^4- 16
e) 4x^2 - 9
f) 49 - 4x^2

22. Transforma en producto:

a) x^3 + 6x^2 + 9x
b) x^4 - 16x^2
c) 4x^3 + 4x^2 + x
d) x(x-1) + x(x+2)
e) x^3 -x
f) 3x^4 - 24x^3 + 48x^2

Identidades

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para los valores cualesquiera de las letras que intervengan.

Identidades notables

Se suelen llamar así a las tres igualdades siguientes:

Utilidad de las identidades notables

Para trabajar las matemáticas, hemos de ser capaces de "crear identidades ventajosas", es decir, debemos operar convenientemente con las expresiones algebraicas.

a^n·a^b = (a·b)^n

a · (b+c) = a·b+a·c

a- (b+c) = a-b-c 

Ejercicios

1. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1)^2

b) (x+3)^2

c) (x-3)^2

d) (2x-1)^2

e) (5x+2)^2

f) (5x+2y)^2

2. Expresa en forma de producto:

a) x^2+2x+1

b) x^2+4+4x

c) 4x^2+9+12x

3. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1) (x-1)

b) (x+3)(x-3)

c) (2x-5)(2x+5)

d) (x^2+2)(x^2-2)

4. Expresa en forma de producto:

a) x^2-2x+1

b) x^2-4

c) x^2-1

d) 4x^2-9

e) 16y^2-x^2

f) x^2-1

g) x^2/4 + x + 1

5. Multiplica la siguiente expresión por 15 y simplifica el resultado:

x/15 + x - 2x/5 - 10

6. Multiplica por 8 y simplifica el resultado:

x/2 + x/4 + x/8 - 3x/4 - 1/4

7. Multiplica por 9 y simplifica el resultado:

x + (2x-3/9) + (x-1/3) - (12x+4/9)

8. Multiplica por 12 y simplifica el resultado:

3(x+2)/4 + 3x+5/2 + 5(4x+1)/6 + 25/12

9. Multiplica por 5 y simplifica el resultado:

5- 6x-4/5 - (x-3)

10. Multiplica por 18 y simplifica el resultado:

x/3 - x-1/2 - x-13/9

11. Multiplica por 36 y simplifica el resultado:

x-1/4 + 36 - x+7/6 - (4x+7/9 + 11)

12. Multiplica por 8 y simplifica los resultados:

(2x-4)^2/8 - x(x+1)/2 - 5

13. Multiplica por 20 y simplifica el resultado:

(x+2)^2/5 - x^2-9/4 + (x+3)^2/2 + 1/5

14. Simplifica:

a) (x+3)^2 - [x^2+(x-3)^2]

b) (5x-4)(2x+3)-5

c) 3(x^2+5)- (x^2+40)

d) 3x^2-2(x+5)-(x+3)^2+19

Polinomios

• Un Polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los dos monomios que lo forman se llama término. 
• Puede haber varios monomios semejantes. Conviene operar con ellos simplificando la expresión.
• Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados que componen el monomio en su forma reducida. Es necesario reducir el polinomio antes de reducir ya que los mayores puede que desaparezcan.

Suma y Resta de Polinomios

Agrupamos sus términos y simplificamos los monomios semejantes:

Producto de un Monomio por un Polinomio

Se multiplican el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Productos de dos Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y después se suman los monomios semejantes obtenidos.

Sacar Factor Común

En la expresión 3xy + 6x^2z+ xyz, la x está multiplicando en todos los sumandos. Es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera de este modo:

3xy + 6x^2z + xyz = x ( 3y + 6xz + yz)

A esta operación se la llama sacar factor común.

Ejercicios

1. Di el Grado de cada uno de estos polinomios:

a) x^5-6x^2+3x+1

b) 5xy^4+2y^2+3x^3y^3-2xy

c) x^2+3x^3-5x^2+x^3-3-4x^3

2. Sean P= x^4-3x^3+5x+3, Q=5x^3 +3x^2-11

Halla P+Q y P-Q

3. Halla los productos siguientes:

a) x(2x+y+1)

b) ab (a+b)

c) x^2y (x+y+1)

d) 6x^2y^2 (x^2-x+1)

e) 3a^2b^3)a-b+1)

f) 2a^2 (3a^2+5a^3)

g) 5(3x^2+7x+11)

h) 5xy^2(2x+3y)

i) -2 (5x^3+3x^2-8)

j) -2x (3x^2-5x+8)

4. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica:

a)3(x^3-5x+7) - (2x^3+6x^2+11x+4)

b) 2x(3x^2-5x+1) + 5(3x^2-5x+1) - 21/4x^2

c) 8· [3(x+2)/2 - y-x/2 - y/6 - 3]

d) 6· [ 3(x-5)/2 - y-x/2 - y/6-3]

e) -3(x-y-4)/7 - 10 - (y-1/3)

f) 2(x-1) + 3(y+4) - 2(3x+y)/5 + 9

g) (3x^3-2x^2+11) x^2-3/21

h) (x^2/2 - 3x + 1/3) · (6x^2 - 6) + (x^3-11x+31)

5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 3x^2+6x

b) a^4-3a^2

c) (x+1)a+(x+1)b-(x-1)

d) 6x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

e) x(x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

f) x/2(x-+5)-x/2

g) x/3-(x^2+1)x

h) x^2+1/3-x^2+1/5

i) xy/5-3xy(3x+1)

j)xy^2(x+1)-xy/2 (x+1)

El lenguaje Algebraico

Trabajar el lenguaje algebraico consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan con letras. Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

• Monomios : 3x>2
• Polinomios: 2x>2 - 7x +1

Algunas expresiones algebráicas son igualdades:

• Identidades: 3(x+4)= 3x+12. La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.
• Ecuaciones: 3 (x+4) = 27. La igualdad sólo es cierta para algún valor de x. En este caso x=5.

Para comenzar a trabajar con identidades y ecuaciones, cabe saber en primer lugar los formalismos algebraicos, estos consisten en:

1. El factor 1 no se escribe  1·x = x
2. El exponente 1 tampoco se escribe x>1 = x
3. El divisor 1 tampoco se pone x/1 =x
4. El signo de multiplicación tampoco se pone.
5. El número SIEMPRE delante de la letra.
6. Tener presente la propiedad distributiva.

Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un determinado problema, se obtienen expresiones algebraicas como:

• Monomios
• Polinomios
• Identidades
• Ecuaciones

Algunos Ejercicios:

1. La edad de Ángel, dentro de 15 años, será el doble de la que entonces tenga Marisa.

2. Si gasto 2/5 de lo que tengo y además 60€, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.

3. Expresa mediante una ecuación la siguiente relación: "La edad de Ángel dentro de 5 años será el cuádruple de la que tiene ahora Marisa".

4. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:

a) A un número le quitas 7

b) El doble de un número mas su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

5. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso.

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es la mitad del ancho 

c) La altura es 20cm menos que el ancho

d) La altura es los 3/4 del ancho

e) La altura es un 20% menor de su ancho

Cálculos con Porcentajes

• Cálculo de un tanto por ciento de una Cantidad

Para hallar el tanto por ciento de una cantidad, expresamos el tanto por ciento en forma decimal y multiplicamos por él.

Por ejemplo: 

                   

                                             

• Obtención del tanto por ciento correspondiente a una porción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, A, respecto a un total, B, efectuamos:

Como ejemplo aplicaremos:

• Cómo se calculan aumentos porcentuales

El aumento por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama Índice de Variación. En los aumentos porcentuales, el Índice de Variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal.

Para calcular el valor final, halla el Índice de Variación y multiplícalo por la cantidad inicial.

Como ejemplo:

Un libro de 20€ aumenta su precio un 12% ¿Cuánto vale ahora?

                    Aumento -->  20 · 0,12 = 2,40€
                    Precio Final --> 20 + 2,40 = 22,40€

• Disminuciones porcentuales

En una disminución porcentual, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal. Para calcular una disminución porcentual, se multiplica la cantidad inicial por el Índice de Variación.

Como Ejemplo:

Un traje Valía 240€  y se rebaja un 25% ¿Cuánto vale?

          Si al 100% le quitamos 25% queda 75%. Su precio final es 240· 0,75= 180€

• ¿Cómo se calcula la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final?

Si conocemos la cantidad final que resulta después de haber aplicado una variación porcentual, la cantidad inicial se obtiene dividiendo la cantidad final por el índice de Variación.

                                                                       CI= CF : IV

Como ejemplo:

Después de haber aumentado su valor un 40%, el precio de una nevera es el 560€ ¿Cuál es el precio antes de la subida?

          PI · 1,40 = PF      --->   560·1,40=400€
          PI= PF · 1,40       --->   560=400:1,40 

• Encadenamientos de aumentos o disminuciones porcentuales

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de las sucesivas variaciones.

Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas "rebajas" del 25%, aumenta el 25% el precio de referencia de los artículos. ¿Cuál será el verdadero descuento?             

                                               

                                                (C·1,25)·0,75=C·0,9375

Por tanto hay un descuento total de  0,93758 - 1 = - 0,0625 = 6,25%

Ejercicios para practicar:

1. Calcula:

A) 12% de 500

B) 110% de 2980

C) 10% de 2980

D) 8,5% de 250

E) 43% de 5800€

F) 180% de 28300

2. Calcula el tanto por ciento que representa:

a) 3624 respecto a 15800

b) 96 respecto a 480

c) 850 respecto a 5000

d) 72,25 respecto a 850

3. El 64% de los 875 alumnos de un colegio están matriculados en Ed. Secundaria. ¿Cuántos de ellos son de otros cursos?

4. Un pantano contenía en enero un millón de metros cúbicos de agua y estaba lleno. Sus reservas se redujeron en abril al 80% y en agosto al 30%. ¿Cuántos metros cúbicos contenía en abril y en agosto?

5. En un pantano había 340hl de agua. Este verano ha disminuido un 43%. ¿Cuánta agua queda en el pantano?

6. Ciertas acciones valían a principios de este año 7,85€, pero han subido un 120% ¿Cuánto valen ahora?

7. El número de parados, 184300, que había en una comunidad autónoma ha disminuido el 19% ¿Cuántos parados hay ahora?

8. En las rebajas de enero, hemos comprado un cuadro por 175€, una bicicleta por 84€ y un libro por 14€ ¿Cuánto nos habría costado antes de las rebajas si todos los artículos tienen disminuido su precio en un 30%?

9. En unas rebajas en las que se hace el 30% de descuento, Álvaro ha comprado un reloj por 49€ ¿Cuál era su precio inicial?

10. ¿Cuánto mide una goma que, al estirarla, aumenta su longitud en un 30% y, en esta posición mide 104cm?

11. Después de distribuir el 27% de las cajas que había en un almacén, han quedado 38690 ¿Cuántas cajas había?

12. Un comerciante aumenta el precio de sus productos un 40% y, después, pretendiendo dejarlos al precio inicial, los rebaja un 40%.
       a) Una chaqueta que inicialmente costaba 100€, ¿Cuánto costará en cada caso del proceso?
       b) ¿Cuál es la variación porcentual que sufren los artículos con respecto al precio inicial?

13. Un capital de 28000€ se deposita en un banco de modo que da un interés del 10% al año. ¿En cuánto se habrá convertido al cabo de 3 años?

14. Un comerciante poco honesto, antes de anunciar unas rebajas del 25%, aumenta el 25% el precio de referencia de los artículos, ¿Cuál será el verdadero descuento?

15. El precio inicial de una enciclopedia era de 480€, y a lo largo del tiempo ha sufrido variaciones: subió un 10%, luego subió otro 22% y, al final, bajó un 30%.

      a) ¿Cuál era su precio actual?
      b) ¿Cuál es el índice de variación final?
      c) ¿A qué porcentaje de aumento corresponde?

16. El precio de un artículo sin IVA es de 724€. Si he pagado 841€ ¿Qué porcentaje de IVA me han cargado?

17. Se han pagado 45€ por una entrada para un partido adquirida en la reventa. Si el revendedor ha cobrado el 180% del precio original ¿Cuánto costaba en taquilla?

18. Un litro de gasolina costaba en enero 0,88€, pero ha sufrido dos subidas en los últimos meses, la primera de un 5% y la segunda, un 4% ¿Cuánto cuesta ahora un litro de combustible?

19. El precio del aluminio que se emplea en las ventanas ha subido dos veces este año. La primera un 15% y la segunda un 8%. Pero en el último trimestre ha bajado un 6% ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida al cabo del año?

20. De los 240 viajeros que ocupan un avión, el 30% son asiáticos, el 15% africanos, el 25% americanos y el resto europeos. ¿Cuántos europeos viajan en el avión?

21. Un cine tiene 520 butacas ocupadas, lo que supone el 65% del total. ¿Cuál es la capacidad del cine?

23. Calcula el coste final de todos estos artículos, teniendo en cuenta la rebaja que se anuncia (15% de rebajas en):

Chaqueta 108€
Guantes 22,4€
Zapatos 62€
Calcetines 4,28€
Pantalones 54€

24. He pagado 16,28€ por una camisa que estaba rebajada un 12% ¿Cuánto costaba la camisa en rebaja?

25. Un panadero vende pan de un Kilo a 2,10€ y la barra de cuarto de Kilo a 0,40€. Si ha decidido subir sus productos un 12% ¿Cuáles serán los nuevos precios?

26. A María, en su factura del agua, le aplican un recargo del 10% sobre el coste total por exceso de consumo, un descuento del 15%, también sobre el total, por ser empleada de la compañía suministradora, y a la cantidad resultante se le aplica un 16% de IVA ¿Cuánto tendrá que pagar finalmente si, según el contador, la cuota era de 120€?

Problemas de Móviles

En los problemas de ENCUENTROS tendremos en cuenta que los móviles se aproximan a una velocidad relativa igual a la suma de sus velocidades absolutas.

En los problemas de ALCANCES tendremos en cuenta que los móviles se aproximan a una velocidad relativa igual a la diferencia de sus velocidades absolutas.

Ejercicios para aplicar lo aprendido:

1. Dos poblaciones A y B distan de 350 Km. A las 9 de la mañana sale de A hacia B un camión a 80Km/h, Simultáneamente, un coche sale de B hacia A a 120km/h. ¿A qué hora se cruzan?

2. Un ciclista profesional, entrenándose, avanza por una carretera a una velocidad de 38 Km/h. Más adelante, a 22Km, un cicloturista avanza en la misma dirección a 14Km/h ¿Cuánto tarda el uno en alcanzar al otro?

3. Un coche va de 120Km/h y un camión a 90Km/h:

     a) Si el coche sigue al camión a 75Km/h de distancia ¿Cuánto tarda en alcanzarlo?
     b) Si están a 504 Km y se dirigen uno hacia el otro, ¿Cuánto tardarán en cruzarse?

4. Un tren que avanza a una velocidad de 70 Km/hm lleva una ventaja de 90Km a otro tren que avanza por una vía paralela a 101 Km/h, Calcula el tiempo que tarda el segundo en alcanzar al primero.

5. Dos manantiales vierten sus aguas en un depósito de 345 litros de capacidad. Si el caudal del primero es de 50 l/min, y el segundo, 40l/min ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito?

6. Una balsa contiene 28600 L de agua para riego. Se abren simultáneamente el desagüe de la balsa, que emite 360 l/min, y un grifo que alimenta a la balsa con 140 l/min. ¿Cuánto tardará la balsa en llenarse?

7. Dos ciudades A y B distan 350 Km. De A sale hacia B un coche a 110 Km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión a 90 Km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que recorre cada uno.

8. Un autobús sale de A a 105 Km/h. Simultáneamente sale de B un coche a 120 Km/h. La distancia entre A y B de 300 Km. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan.

9. Un camión sale de cierta población a una velocidad de 90 Km/h. Cinco min más tarde sale en su persecución una moto a 120 Km/h ¿Cuánto tarda la moto en alcanzar el camión?