Repartos Proporcionales

En los repartos proporcionales, las distintas fracciones en  que se parte el total, además de ser proporcionales a los valores señalados, deben sumar 1.

Valores --> a, b, c...

Suma-->  a+b+c+...=S

Fracciones --> a/S, b/S, c/S...

Suma --> a/S+b/S+c/S = 1

Finalmente se lleva a cabo la siguiente fórmula:

Para más entendimiento, aquí tenemos este ejemplo:

Tres grifos aportan caudales de 2 L/s, 5L/s y 7L/s, (Estos serían los "Valores" anteriormente citados) respectivamente. Se abren los tres simultáneamente para llenar una balsa. 

a) ¿Qué fracción de esta habrá aportado cada uno?
Podríamos considerar la balsa dividida en 2+5+7 =14 partes (Por lo tanto se realizaría la primera suma cuyo resultado "S" es 14), 2 de las cuales llenaría el primer grifo, 5 el         segundo y 7 el tercero. Así la fracción de la balsa que llena el grifo sería: 2/14, 5/15 y 7/14. Si sumamos las fracciones anteriores el resultado sería 1 ya que nos quedaría 14/14.

b) El volumen que ha manado de cada grifo será:

                             1º 2/14 de 17080 = 17080/14·2 = 2440L
                             2º 5/14 de 17080 = 17080/14·5 = 6100L
                             3º 7/14 de 17080 = 17080/14·7 = 8540L

Pon tu conocimiento a prueba y realiza estos ejercicios:

1. Tres socios pusieron 2, 3 y 6 millones, respectivamente para crear una empresa.
     a) ¿Qué parte de las ganancias corresponderá a cada uno?
     b) Si las ganancias del primer año fueron 75900€ ¿Cuánto corresponderá a cada uno?

2. ¿Es lo mismo repartir en partes iguales proporcionales a 2,3,4 que repartir en partes proporcionales a 6, 9 y 12? Justifica tu respuesta comparando las fracciones correspondientes al reparto en cada clase.

3. ¿Cómo se podrían repartir 2310€ entre tres hermanos de forma que al mayor le corresponde la mitad que al menor y a este el triple que al mediano.

4. Tres personas poseían 1/3, 2/9 y 1/6, respectivamente, de una urbanización, junto con una cuarta socia que se retira llevándose su parte ¿Qué parte de lo que queda corresponde a cada socio?

5. Reparte 17 camellos proporcionalmente a 1/2, 1/3 y 1/9.

6. Dos albañiles cobran 340€ por un trabajo realizado conjuntamente. Si el primero trabajó 3 jornadas y media y el segundo 5 jornadas ¿Cuánto cobrará cada uno?

7. Tres hermanos se reparten una herencia de 2820€ de manera que por cada 5 euros que reciba el mayor, el mediano recibirá 4 y el pequeño 3 ¿Qué cantidad lleva cada uno?

8. Se han abonado 6888€ por la limpieza de un bosque realizada por dos brigadas de trabajadores. La primera brigada está formada por 12 operarios y han trabajado durante 8 días. La segunda brigada tiene 15 hombres y ha trabajado 10 días ¿Cuánto corresponde a cada brigada?

9. Tres socios han obtenido en su negocio un beneficio de 12900€. ¿Qué parte corresponde a cada uno si el primero aportó inicialmente 18000€, el segundo, 15000€, y el tercero 10000€?

Proporcionalidad Compuesta (v)

En los problemas de proporcionalidad compuesta, intervienen, al menos, tres magnitudes. Cada una de ellas son directa o inversamente proporcionales.

Para resolver problemas de proporcionalidad compuesta:

• Identifica las magnitudes que intervienen y coloca los nombres en las columnas, de forma que la de la incógnita quede situada a la derecha.
• Expresa las cantidades de la misma magnitud en la misma unidad y colócala en la tabla.
• Compara las magnitudes con la de la x y decide si son DIRECTA o INVERSA.
• Extrae las razones e invierte las inversas y multiplícalas.
• Expresa una igualdad entre el producto anterior y la razón de la X.
• Despeja x y simplifica todo lo que puedas.

Despejemos dudas con un ejemplo:

Se han necesitado 2585 calorías para calentar 100g de aceite desde 15º C hasta 70º ¿Cuál será la temperatura final de un litro de aceite (980g) que está a 15º C, si se suministran 39151 calorías?

Ejercicios:

1. En una granja, 16 conejos consumen 100Kg de alfalfa en 12 días ¿Cuántos días pueden comer 6 conejos con 100Kg de alfalfa?

2. Para calentar una pieza de hierro de 1240g de 10ºC a 150ºC se han necesitado 18228 cal. ¿Cuántas calorías se necesitan para subir una pieza de 3480g de hierro de 0ºC a 210ºC?

3. Para calentar una pieza de 1240g de 10ºC a 150ºC se han necesitado 18228cal. ¿A qué temperatura se pondrá una pieza de hierro de 5Kg que está a 20ºC si se suministran 20000 cal?

4. En los trabajos de una autopista, 20 camiones trabajando 8 horas diarias logran llevar del tajo a la escombrera 4 dam^3 de tierra cada día. ¿Cuánta tierra moverán en un día 12 camiones trabajando en turnos de 10 horas diarias?

5. Para que un gramo de agua suba un grado se necesita una caloría. ¿Cuánto calor es necesario para subir a punto de ebullición un litro de agua que sale del grifo a 12ºC?

6. Una piara de 23 cerdos se come, en 50 días, 2990Kg de pienso. ¿Cuántos días duran 6240Kg de pienso a 75 cerdos?

7. Cuatro mineros abren una galería de 15m de longitud en 9 días ¿Cuántos metros de galería abrirán 6 mineros en 15 días?

8. Cinco obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 12 días para levantar un muro. ¿Cuántos obreros necesitamos para construir el muro en 9 días, trabajando en jornadas de 10h?

9. En una cadena de montaje, 17 operarios, trabajando 8 h al día, ensamblan 850 aparatos de radio a la semana. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar la próxima semana, para atender un pedido de 1000 aparatos, teniendo en cuenta que se añadirá un refuerzo de 3 trabajadores?

10. En un campo de 200m de largo y 80, de anchura, se ha recogido una cosecha de 4800Kg de trigo. ¿Qué cosecha podemos esperar de otro campo que mide 190m de largo y 90m de ancho?

Proporcionalidad Simple

Estos puntos en matemáticas, siempre se resuelven mejor con un  ejemplo:

Para transportar 120000 l de agua se necesitan 8 camiones cisterna ¿Cuántos camiones se necesitarán para transportar 315000 l?

A más volumen de agua, más camiones se necesitarán. Se trata de una PROPORCIONALIDAD DIRECTA que resolveríamos así:

 Seis pintores tardan 8 días en pintar una casa. ¿Cuánto tardarían 4 pintores en realizar la misma tarea?

A menos pintores, más tiempo. Se trata de una PROPORCIONALIDAD INVERSA, y se resuelve de esta forma:

Ejercicios

1. Un barreño de 150 litros se llena con un grifo que mana 5 litros por minuto. ¿Qué caudal de agua de agua se necesita para llenar una balsa de 2400 litros en el mismo tiempo?

2. Si 15 L de agua se convierten en 16 L de hielo, ¿Qué volumen ocuparán al congelarse, 2m^3 de agua?

3. Un grifo que mana 5 litros por minuto llena un cierto barreño en 30 min. ¿Qué caudal debe tener otro grifo que lo llene en 40 min?

4. El dueño de una papelería ha abonado una factura de 670€ por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 17 cajas? ¿Cuántas cajas recibirá en un tercer pedido que genera una factura de 938 €?

5. Cinco carpinteros necesitan 21 días para entarimar un suelo. ¿Cuántos carpinteros serán necesarios si se desea hacer un trabajo en 15 días?

6. Los vecinos de una urbanización abonan 390€ mensuales por las 130 farolas que alumbran sus calles. ¿Cuántas farolas se han de suprimir si se desea reducir la factura mensual a 240€?

7. Un campeonato de refuagiados que alberga a 4600 personas tiene víveres para 24 semanas. ¿En cuánto se reducirá ese tiempo con la llegada de 200 nuevos refugiados?

8. Una finca tiene una valla antigua sostenida por 650 postes que están colocados a intervalos de 1,20m ¿Cuántos postes se necesitarán para la nueva valla en la que los postes se colocarán a intervalos de 1,30?

9. Un manantial tarda 5 horas y 20 min en llenar un pilón de 7800 litros. ¿Cuántos litros aporta el manantial a la semana?

10. Un peregrino del Camino de Santiago ha invertido 5 días y 2 horas en cubrir una distancia de 128 Kilómetros. Sabiendo que en cada jornada camina durante 6 horas. ¿Qué distancia recorre al día?

11. Una locomotora a 85Km/h, tarda 3 horas y 18 min en realizar el viaje de ida entre dos ciudades ¿Cuánto tardará en el viaje de vuelta si aumenta su velocidad a 110Km/h?

Monomios

Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras. En un monomio, la parte literal representa números de valor desconocido. Por eso conservan todas las propiedades de los números y sus operaciones.

El coeficiente es el número que interviene.

Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal. Los números son monomios de grado cero, pues x^0 =1

Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal.

• Valor Numérico de un Monomio

El valor numérico de un monomio para ciertos valores de las letras que intervienen es el resultado que se obtiene al efectuar las operaciones con los números que resultan de la sustitución.

• Suma de Monomios

La suma de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma de coeficientes. Si dos monomios no son semejantes, su suma no se puede simplificar y hay que dejarla indicada.

• Productos de Monomios

El producto de monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y su parte literal, el producto de las partes literales.

Ejercicios

1. ¿Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios?

a) -2/7 ab^2c^3

b) -3xy^2

c) 4/3 x^2y^5z^2

2. Halla el valor numérico de los monomios siguientes para x=3, y=-2, z=5

a) -6x^2yz

b) 3x^2

c) 4xy^2

d) -5x^2y^2z^2

e) yz

f) -2xz^3

3. Efectúa las siguientes sumas de monomios:

a) 5x-3x+4x+7x-11x+x

b) 3x^2y-5x^2y + x^2y

c) 7x^3-11x^3+3y^3-y^3+2y^3

4. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:

a) -5ab^2c^3

b) 11x^4

c) x

3. Expresa con un monomio:

a) El perímetro de esta figura:

b) El área de esta figura:

c) El volumen del cubo que se puede formar con esta figura:

4. Traduce a lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:

a) Los tres quintos de un número menos 1:

b) La suma de tres números consecutivos:

c) Un múltiplo de tres más su doble:

d) La suma de un número y su cuadrado:

e) El producto de un número por su siguiente:

5. Traduce al lenguaje algebraico, empleando dos incógnitas:

"La suma de las edades que tenían un padre y su hijo hace 6 años"

6. Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos incógnitas:

a) Un número más la mitad de otro.

b) El cuadrado de la suma de dos números.

c) La diferencia de los cuadrados de dos números.

d) El doble del producto de dos números.

e) La semisuma de dos números.

Lenguaje Algebráico

Trabajar en lenguaje algebraico consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. 

Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan con letras. Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

• Monomios

• Polinomios

Algunas expresiones algebraicas son igualdades:

• Identidades: La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.

• Ecuaciones: La igualdad sólo es cierta para algún valor de x. x= 5

Recuerda los formalismos Algebraicos

1. El factor 1 no se escribe.
2. El exponente 1 tampoco se escribe.
3. El divisor 1 no se pone.
4. El signo de multiplicación tampoco se pone.
5. El número de delante de la letra se rige por la propiedad conmutativa.
6. Se da la propiedad distributiva.

Diferencias

• Constante: Son letras cuyo valor nunca cambia.
• Variable: Son letras que pueden tomar cualquier valor entre un conjunto de valores.
• Incógnita:  Son las letras que sólo pueden tomar un determinado valor.

Ejercicios: 

1. Expresa mediante una ecuación las siguientes relaciones:

a) La edad de Ángel, dentro de 15 años, será el doble de la que entonces tenga Marisa.

b) Si gasto 2/5 de lo que tengo y además 60€, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.

c) La Edad de Ángel dentro de 5 años será el cuadruplo de la que tiene ahora Marisa.

2. Asocia una expresión algebraica a cada uno de estos enunciados:

a) A un número le quitas 7

b) El doble de un número más su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios.

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

3. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso:

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es 20cm menos que el ancho

c) La altura es los 3/4 del ancho.

d) La altura es un 20% menos que su ancho

Calculo Mental

1. Calcula mentalmente:

a) 7-2+4

b)7 -(2-4)

c) 11+3x5-2

d)11+3x(5-2)

e)7-(2+4)

f)-7+2-4

g)(7+3)x5-2

h)(7+3) x (5-2)

2. Calcula mentalmente:

a) La cuarta parte de 100,200,600 y 1000

b) Los cuadrados de los números del 1 al 12

c) Los cubos de los números del 1 al 5

d) Las potencias de base 2 hasta 2^10

3. Calcula mentalmente el número decimal equivalente en cada fracción:

1/2; 3/4; 1/4; 1/5; 2/5; 3/5

4. Calcula mentalmente:

a) (-2)^5

b) (-2)^8

c) (-1)^10

d) (-1)^23

5. Calcula mentalmente

a) 20 x (-350)

 

b) 2 x 75x (-2)

c) 2486 x 50

d) 50x60 / 20

e) 1640 x 4

f) 120x25

6. Calcula

a) 2/3 de 60

b) 3/4 de 100

c) 3/500 de 500

d) La mitad de 2/3

e) La tercera parte de 12/7

f) La mitad de la quinta parte de -6

7. Calcula

a) Los 3/4 de un número valen 12. ¿Cuál es el número?

b) Los 2/3 de un número valen 20. ¿De qué número se trata?

c) Los 3/5 de una cantidad son 15. ¿Cuál es esa cantidad?

8. Calcula y simplifica

a) 3/5 x 2/3

b) 6 x 3/4

c) 5: 3/4

d) 1/3 x 4/5 

e) 8/3: 2/3

f) 2/7:4

9. Calcula

a) 1/2 + 1/4

b) 1/2 - 1/4

e) 1+ 1/3

c) 2- 1/4

d) 1+1/2

f) 1/2-1/3

Ejercicios. Números enteros y Divisibilidad

1. Obtén estos resultados por dos métodos:

     1. Primero quita paréntesis y después opera.

     2. Opera dentro de los paréntesis antes de suprimirlos.

     a) -5 + 3 x (4-6) - 7x (-8+3)

     b) (-17 + 5) +3 x (5-3x2)

2. Calcula mentalmente:

     a) La cuarta parte de 100, 200, 600, 1000.

     b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.

     c) Los cubos de los números del 1 al 15.

     d) Las potencias de base 2 hasta 2^10.

3. Ordena estos números de menor a mayor: -17, -2,1,-5,4,0

4. Calcula:

a) (-2)^5

b) (-2)^8

c) (-1)^10

d) (-1)^23

5. Escribe en forma de potencia buscando la base adecuada:

a) 8

b) 27

c) 121

d) 125

e) 128

f) 169

g) 343

h) 625

6. Calcula el m.c.m de estos números:

a) 4,3,5

b) 4,6,12

c) 8y12

d) 9y15

e) 6,9y4

f) 12,18 y 6

7. Halla el máximo común divisor:

a) 40 y 60

b) 30, 45 y 90

c) 25 y 36

d) 12,18 y 24

8. ¿Cuáles de estos pares de números son primos entre sí?

a) 12y21

b) 15y22

c) 100y101

d) 111y121

9. Comprueba si son primos los siguientes números:

a) 323

b) 119

c) 193

10. Busca mentalmente en cada caso, el número n que verifica la igualdad.

a) n+17=22

b) n+8=3

c) n-18=3

d) 3n=18

e) nx(-5)=20

f)n/-7=2

g) -7n=-21

h)n^3=-8

11. Simplifica

a)2^5/2^3

b) 3^4/3^2

c) 2^3x3^4/2x3

12. Calcula:

a) (-4)^2

b) -4^2

c) -4^3

d) (-4)^3

13. Extrae el factor común:

a) -8m-28m+20m

b) 55b-70b+15b

c) 5a^2-3a+2a^3

14. Calcula la diferencia de altura entre el Everestm que mide 8848m, y la Fosa de las Marianas, que llega a -11022m.

15. La temperatura de un congelador desciende 2 grados cada 5 min hasta llegar a -20ºC ¿Cuánto tardará en llegar a -12ºC si, cuando lo enchufamos, la temperatura es de 18ºC?

16, Un caracol está en el fondo de un pozo de 10 m. Para salir del pozo, asciende 3m cada día, pero por la noche desciende 2m ¿Cuántos días tardará en llegar al borde del pozo?

17. Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda 3 días en fabricar 6000 botellas. En la empresa tienen un pedido urgente de 15000 botellas y ponen la máquina a trabajar 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en fabricar el pedido?

18. Tres personas, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en 15 días ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo cinco personas en jornadas de 9 horas?

19. Tres empleados reciben 328€ por limpiar las ventanas de un edificio. Si han limpiado 48, 54 y 62 ventanas, respectivamente, ¿Cuánto debe cobrar cada uno?

20. En un concurso de radio se reparten 180€ entre dos concursantes que han acertado 32 y 28 preguntas, respectivamente. ¿Cómo se debe repartir el dinero?

21. Para recaudar fondos para unicef tres amigas han reunido 156€ por la venta de tarjetas. Si Elena ha vendido 3 paquetes, María 5 paquetes y Cristina 4 paquetes ¿Cuánto ha recaudado cada una?

24. En una parada de autobuses, coinciden dos líneas, A y B. Los vehículos de la línea A pasan 15 min, y los de la B, cada 20 min. Son las ocho y veinte de la mañana y hay un autobús de cada línea en la parada. ¿A qué hora volverán a coincidir?

25. Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3.500 Km y le hace una revisión general cada 8000Km ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos operaciones?

26. En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 226 litros de otro tipo. Quieren envasar el aceite con el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué capacidad tendrá cada garrafa?

27. Se desea cubrir con baldosas cuadradas el suelo de una habitación que mide 330 cm de ancho por 390cm de largo. Se quiere realizar el trabajo utilizando baldosas lo más grandes que sea posible y sin cortar ninguna. ¿Cuál debe ser el tamaño de las baldosas?

28. El número de empleados de una empresa está comprendido entre 150 y 200. Con ellos se pueden formar equipos de 15, de 12, o de 20 personas, sin que sobre o falte ninguna en cada caso. ¿Cuántos empleados son?

29. Eduardo observa que al contar sus discos de 3 en 3, de 4 en 4 o de 5 en 5, siempre le sobran 2. Calcula cuántos discos tiene Eduardo si sabes que tiene menos de 75.

30. Con la ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad:

a) 4_5+85_=1_13

b) 34_x_6=8970

c)425+23x_=5_6

31. Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estas operaciones sean verdaderas:

a)12_34_9=318

b) (25_16)_45_5=400

32. Con los dígitos 3,4,5,6, forma dos números de dos cifras de modo que al multiplicarlos obtengas el mayor producto posible.

33. Pon los paréntesis adecuados para que cada expresión dé el resultado que indica la flecha:

a)6+3x5+8=53

b)7+3x5-1=19

c)7+3x5-1=49

d)6+3x5+8=45

e)7+3x5-1=40

f)18-6:2=6

34.Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0 ¿Cómo podrías conseguir que apareciese en la pantalla cada uno de estos números? 

a)180

b)108

c)1080

d)104050

35. Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56327 ¿Qué operación harías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar de un 6 hubiera un 8?

36. Si el producto de dos números axb es igual a 48 dí cuál es el valor de:

a)2ax3b

b)(2ab)^2

37. Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:

3<8

-5<9

-8<-1

38. ¿Qué dirías de un número que sólo tiene dos divisiones?¿Cuáles serían?

39. Busca dos números cuyo máximo común divisor sea 8 y que sumen 56.

40. Un número n tiene como factores primos 2,3,5. Los de otro número m son 2,3,7. Calcula m y n sabiendo que su M.C.D es 36, ¿Hay sólo una solución?

41. Si dos números son múltiplos de 7 razona si también son múltiplos de 7:

a)Su suma

b)Su producto

c)Su diferencia

d)Su cociente

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