Ejercicios de Ecuaciones

1. Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3/5 (x-1) - 1/3 (x+1) + 1/2 = 1/6 (x-1) + 2/5
b) 3x/x+1 + 4/x+2
c) (1-x)^3 - 4x = -9
d) 2^1-x = 1/8

2. Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido:

a) 3x-5/4 = 1
b) 7 - x+4/3 =2
c) 1/x + 1/x + 1/x = 3
d) (x-1)^3 = 8
e) (x-2)^2 = 81
f) x^4-1 / 2
g) 3^x-5 = 9
i) √x+13=5
j) √2x-1=3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)(x-5)(x+2) = 0
b) x(3x-4)=0
c)3(x-1)^2=0
d)(2x-1)^2/3=0

4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:

a) 12x - 8 = 34 + 5x
b) 4(2-x) - (4-x) = 7(2x+3)
c) 2[x+3(x+1)] = 5x
d) 5(x-2)-2(x-5)= 2x - (2+3x)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1/2 + 1/3x = x- 1/6
b) 3x-3/4 = 3+4/3
c) 3(x+3)/2 - 2(2-3x) = 8x-1-2(x+3)
d) 3x+3/4 - 3x-2/3 = 1/6 +  x+3/12
e) x+7/2 - 7-x/6 = x-7/12 + 7
f) 5+x/4 - 5-x/5 = 1+x/4 -1

6. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2/3 (x+3) - 1/2 (x+1) = 1 - 3/4 (x+3)
b) 1/2 - 2 (x-3/4) + 4x = 2x - 1/3 (4x-3)
c) 5/8 + 3/2 [1/2x (2/4x + 1/6) - 5/2] = 3/4 (x-1/3) - x

7. Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución:

a) (x+1) (x-1) - 3(x+2) = x(x+2)+4
b) (2x+3)^2 - (2x-3)^2 = x(x+3) - (x^2+1)
c) (x-1/3) (x+1/3)-x (x+1/6) = 1/3 (x-2)
d) (x+1)^2 - (x+2)(x-3) + 5/4x - 9/2x =25

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin usar la fórmula de resolución:

a) 7x^2-21x=0
b) x+2x^2=0
c) 2x^2 - 7x=0
d) 2/5x^2 + 4x= 0
e) x= 4x^2
f) 8x^2 - 18 = 0
g) 4x^2 - 1=0
h) 3x^2 - 6 = 0
i) 100x^2 - 16=0
j) 2x^2 - 50 = 0

9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 9x + 14= 0
b) 4x^2 - 4x + 1 = 0
c) 2x^2 - 7x = 0
e) 2/5 x^2 + 4x= 0
f) x= 4x^2
g) (x+1)^2 - 3x = 3
h) (2x-3) (2x+3) - x (x-1) =5
i) (2x + 1)^2 = 1+ (x+1)(x-1)
j) (x+4)^2 - (2x-1)^2 = 8x
j) x(x-3)/2 + x(x-2) / 4= (3x-2)^2/ 8 -1
k) 3/2 (x/2 - 2)^2 - x-1/8 = 1/8 - x-1/4

10. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 0,4x - 3,2 = 1,65x + 0,8
b) 1,2x - 4,5 / 0,2 = x-2,4 / 0,5
c) 5(x-2)^2 - 500 = 0
e) (x-4) (x-0,5) = 0
d) x+4/6 - 2(x+1) / 9 = x-2/ 6 - 11+ 9x/18
f) x^2 - 3,2x = 0
g) (3x-2)^2 / 4 = 16
h) 3x^2 - 0,75 = 0
i) 0,2x^2 + 1,6x - 4= 0
j) 2/3x^2 - x/2 + 1/12 = 0

Inecuaciones

"Desde la mesa hasta la estantería, mido 5 palmos y aún me quedan por llegar. Si desde el suelo subo 9 palmos, sobrepaso la estantería. La mesa tiene 70 cm de alta; la estantería, 180cm. ¿Qué puedo decir de la longitud de mi palmo?"

En este enunciado se dice algo que "sobrepasa" o no llega en lugar de que es igual. ¿Cómo operar con estas expresiones?

La primera relación dice que la altura de la mesa más 5 veces la longitud de mi palmo es menor que la altura de la estantería y lo expresaríamos así:  70 + 5x < 180. Mientras que la segunda relación sería: 9x > 180

Las relaciones numéricas que se expresan con los signos <,>.  Se llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones.

Se resuelve con el mismo método que las ecuaciones salvo por el signo = que será reemplazado por (< o >)  y salvo en el caso  en que si en cualquiera de los pasos se multiplican o se dividen los dos miembros de una inecuación por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.

Cualquier número que cumpla la condición de una inecuación será la solución de la misma.

También pueden representarse de una forma gráfica:

Ejercicios:

1. Escribe una inecuación para cada enunciado:

a) He gastado más de 5€ en 3Kg de tomates.

b) Con 10€ tengo suficiente para 5Kg de peras.

2. Di tres soluciones de cada inecuación:

a) 4x<20

b) 3x+1<_ 7

c) 40-x > 28

d) x+2/3 >_ 2

3. Resuelve y representa gráficamente la solución:

a) 5x< -5

b) 2x+3 >_ 7

c) 2x-4/3 <_ 2x+8

d) 104 - 9x >_ 4(5x-3)

e) 3(4-x) >_18x-5

f) x/4-4 >_ 5x/3 - 1/6

g) 3x-12 < 5x-6 / 4

h) 4-2x/3 > 2(x-3)

4. Salgo de mi casa con 10€. Gasto 1€ en el autobús y debo guardar 1€ para la vuelta. Veo en una papelería cuadernos de 2,5€ ¿Cuántos puedo comprar?

5. Ramón y Nuria han medido la pizarra a palmos. Ramón ha contado entre 16 y 17 palmos. Nuria cuenta más de 17, pero no llega a 18. Si el palmo de Ramón mide 19,5 cm y el de Nuria 18cm, ¿Cuánto mide la pizarra?

Resolución de Problemas Mediante Ecuaciones

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene seguir estos pasos:

1. Identificar los datos conocidos, los que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita.
2. Relacionar mediante una igualdad lo conocido con lo desconocido.
3. Resolver la ecuación.
4. Interpretar la solución ajustándola al enunciado.


Ejercicios

1. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.

2. La base de un rectángulo es 10 cm más larga que la altura. Su área mide 600cm^2. Calcular las dimensiones de un rectángulo.

3. Se mezclan 30Kg de café de 6€/Kg con cierta cantidad de café superior de 8€/Kg, resultando una mezcla de 7,25€/Kg ¿Qué cantidad de café superior se ha utilizado?

4. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2cm menos que la hipotenusa y 14cm más que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados.

5. Un repostero ha mezclado 12 Kg de azúcar de 1,1€/Kg con una cierta cantidad de miel, de 4,2€/Kg. La mezcla sale a 2,34€/Kg. ¿Cuánta miel mezcló?

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado es de la siguiente forma:

Estas ecuaciones han de resolverse con una herramienta esencial, esta herramienta es una fórmula que deberás memorizar:

El doble signo (+ -) quiere decir que puede haber dos soluciones, y se debería resolver dos veces. Una empleando el signo positivo y otra el negativo. Si queremos visualizar un ejemplo de una ecuación de segundo grado con solución sería de esta forma:

Número de soluciones

Una ecuación de Segundo Grado puede tener resultar tener:

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Las ecuaciones de Segundo Grado ax^2 + bx + c = 0 en las que los coeficientes b o c son cero, se llaman incompletas. Aunque se pueden resolver aplicando la fórmula, también es posible hacerlo de forma mucho más sencilla.

Para las ecuaciones sin término en x o más bien llamado, término b, se utiliza esta fórmula:

Para las ecuaciones sin término independiente o c se utiliza la siguiente fórmula:

Reglas para resolver ecuaciones de 2º Grado

1. Si la ecuación de segundo grado está completa (tiene todos sus términos), aplica la fórmula.
2. Si es una ecuación incompleta, tal y como hemos visto, puedes resolverla con las fórmulas anteriores.
3. Si tiene una fisionomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer término. Sólo cuando esté simplificada aplica la fórmula.
4. Comprueba las soluciones. Si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 6x + 5 = 0
b) x^2 - 5x + 6 = 0
c) 6x^2 - 5x + 1 = 0
e) 4x^2 - 4x + 1 = 0
f) x^2 - x + 1 = 0
g) 5x^2 + 7x = 0
h) 4x^2 - 9 = 0

2. Resuelve estas ecuaciones:

a) 3x^2 - 75 = 0
b) 2x^2 + 10 = 0
c) 7x^2 - 5x = 0
d) 3(x^2 + 5) = x^2 + 40
e) 5x^2 - 5 = 0
f) 5x^2 + 5 = 0
g) 7x^2 + 5 = 18
h) 2x^2 - 6x = 0
i) 5x^2 + 7x = 0
g) 3x^2 - 2(x-5) = (x+3)^2 - 19

3. Resuelve la ecuación:

(x+2)^2 / 5 - x^2-9/4 = (x+3)^2/2 + 1/5

4. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3cm más largo que el mediano, y este, 3cm más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados?

5. Resuelve:

a) (5x-4)(2x+3)=5
b) x^2-3x / 2 - 5 = x-20/4

6. El producto de un número natural por el siguiente es 272. Calcula dichos números.

7. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.

Ecuaciones de Primer Grado

A las ecuaciones polinómicas de primer grado se les llama, simplemente de primer grado. En ellas, la x sólo aparece elevada a 1 (x^1 = x) Por ejemplo:

Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo a diferente a 0.

Las ecuaciones de primer grado tienen una única solución, que se obtiene despejando la incógnita. Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones.

Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones.

Ecuaciones Equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución o ambas carecen de solución:

Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones:

Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que x esté más próxima a ser despejada.

PASOS PARA DESPEJAR UNA INCÓGNITA

1. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su m.c.m.
2. Quitar paréntesis, si los hay.
3. Pasar los términos en x a un miembro y los números a otro miembro.
4. Simplificar cada miembro.
5. Despejar la x. Se obtiene así la solución.
6. Comprobación. Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

• x/15 + x = 2x/5 + 10
• x/2 + x/4 + x/8 = 3x/4 + 1/4
• x + 2x-3/9 + x-1/3 = 12x+4/9
• 3(x+2)/4 + 3x+5/2 = 5(x+1)/6 + 25/12
• x- 6x-4/5 = x-3
• 5 - 6x-4/5 = x-3
• x/3 - x-1/2 = x-13/9
• x-1/4 + 3x - x+7/6 = 4x+7/9 + 11
• (2x-4)^2/8 = x(x+1)/2 +5
• 21-x/5 + 2x-7/15 = 8 - 5x-5/10
• 3(x-4)/4 - x = x-3
• (x+1) (x-1) / 3 = 2 ( x^2 + 1) /6
• (2x-2) (2x+2) = 7x+2/3 + (2x)^2
• 25/3 (x-1) + 2x-7/4 = 5/2 (x-6) + 45/4

Ecuaciones

Una ecuación, más que una igualdad, es una propuesta de igualdad en la que solo interviene una letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene solución.

Tipos de ecuaciones

• Ecuaciones polinómicas. La incógnita aparece solamente en expresiones polinómicas.

• Con radicales:

• Con la x en el denominador:

• Ecuaciones con la x en el exponente:

Ejercicios:

1. ¿Es el valor 5 solución de alguna de estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a) 7x+1=34

b) x^4-400=325

c) 10x+25=x^3

d) 1^x =5

e) (x+7)^2=144

f)  x^2+6x+5=0

g)  x^2+7=4x+12

h) 2^x=32

i)  x^3+x^2+x+1=156

j)  3(x^2+1)=78

2. En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y dí cuál es su grado.

Ejercicios de Polinomios e Identidades

1. Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios y di cuales son semejantes:

a)-7x^2
b) 5/3x
c)(1/2x)^2
d)-6x
e)7x^3
f)2/3x · 4x^2
g)5/3 x^2

2. Efectúa:

a) 5x^2 - 3x^2 - x^2
b) -2x + 7x - 10x
c) -x^3 - 2x^3 + 2x^3
d) x - 2x/5 - 1/3x
e) 3x - 2/5x - x/2
f) 5/3 x^2 - x^2 + x^2/2

3. Simplifica estas expresiones:

a) 2x^3 - 5x + 3 -1 - 2x^3 + x^2
b) (2x^2 + 5x - 7) - (x^2 - 6x + 1)
c) 3x - (2x+8) - (x^2 - 3x)
d) 7 - 2(x^+ 3) + x(x-3)

4. Efectúa y reduce:

a) 3x^2 · 5x + 2x(-3x^2)
b) 3/5x^2 (-2/3x^3)
c) x^3/3 - 2x/3x^2
d) 6x^3 - x^4/x^2

5. Opera y simplifica:

a) (2x)^3 - (3x)^2 · x - 5x^2 (-3x+1)
b) 5/3 (4/4x) - (4x) - 1/2 (4x^2 - 5)
c) (2x^2 - x + 3) (x-3)
d) (-x^2 + 3x - 5) (2x-1)

6. Considera estos polinomios:

A. x^4 - 3x^2 + 5x - 1
B. 2x^2 - 6x + 3
C. 2x^4+x^3 - x - 4

A+B ; A+C ; A+C+B; A-B; C-B

7. Multiplica:

a) (x^2- 5x-1)·(x-2)
b) (3x^3-5x^2+6)·(2x+1)
c) (2x^2+x-3)·(x^2-2)

8. Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) (x+7)^2
b) (x-11)^2
c) (2x+1)^2
d) (3x-4)^2
e) (2/5x-5)^2
f) (2/5 + 4x)^2

9. Extrae factor común:

a) 5x+10x^2
b) -x^2+x-3x^3
c) 3x^2-6x+9x^2
d) 2x^3-4/3x^2+2x
e) a(x-1)+b(x-1)+c(x-1)
f) x^2(x-1)+x^2(x-2)+x^2(x-3)
g) 2x(y-1)+x(y-1)-x(y-1)

10. Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (x-3y)^2
b) (x/3-y/2)^2
c) (3x+2x^2)^2
d) (x-1/2x)^2
e) (5x/2+x^2)^2
f) (3/2x - 1/4y)^2

11. Multiplica:

a) (x+7)(x-7)
b) (1+x)(1-x)
c) (3-4x)(3+4x)
d) (2x-1)(2x+1)
e) (1/3-2x^2)(1/3+2x^2)
f) (3/2x - 1/4y)^2

12. Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (3x+1/2)(3x- 1/2)
b) (x^2+1)(x^2-1)
c) (x/2+y)(x/2-y)
d) (x^2-x)(x^2+x)

13. Reduce las siguientes expresiones:

a) 3(x+3) / 2 - 2(2-3x) + 2(-x+3)
b) 3x+3 / 4 - 3x-2 / 3 - x+3 / 12
c) x+7 / 2 - 7-x / 7 - x-7 / 12

14. Reduce las siguientes expresiones:

a) (x+1) ( x-1) - 3(x+2) - x(x+2)
b) (2x+3)^2 - (-2x+3)^2
c) 5+x / 4 - 5-x / 5 - 1+x / 4
d) 2/3(x+3) · (x+ 1/3) - 1/3 ( x^2 + 1)
e) (x-1/3)(x+1/3)-1/3 (x^2+1)
f) (x+1)^2 - (x-2)(x-3)-5/4x
g) x(x-3)/2 + x(x-2)/4 - (3x-2)^2 / 8
h) 3/2 (x/2-2)^2
i) 5/8 + 3/2 [x/2 - (x/4 + 1/6) - 5/2]

15. Opera y simplifica

a) (x+ 1/2)^2 - (x-1/2)^2
b)  (x^2 - 3x + 4) - (x+2)^2
c) (2x/3 + 1)^2 - (2x/3 + 1) (2x/3 + 1) (2x/3-1)
d) (4/5x + 2/3) (4/5x - 2/3) - (4/5x-2/3)^2

16. Multiplica por 24 y simplifica el resultado:

x+5 / 3 - 2x+7 / 4 + 3(2x-1) / 8

17. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

2 - 3(x-2) / 6 + 4x - (2x+1 / 3 + 4)

18. Multiplica la siguiente expresión por el m.c.m de los denominadores y simplifica el resultado:

2(x+4) / 3 - 3(2x+2) / 5 + 3x-2

19. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

(x+4)^2 / 3 - (2x-1) ^2 / 2

20. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:

a) x^2 + 4x + 4
b) x^2+9+6x
c) 4x^2 + 4x+1
d) 9x^2 - 12x + 4
e) 9x^2 - 10x + 25
f) x^2 + 49 - 14x
g) 4x^2+ 9 -12x
h) x^4 + 4x^2+ 4

21. Expresa como producto de una suma por una diferencia:

a) 9x^2 - 25
b) 16x^2 - 1
c) 1- x^2
d) x^4- 16
e) 4x^2 - 9
f) 49 - 4x^2

22. Transforma en producto:

a) x^3 + 6x^2 + 9x
b) x^4 - 16x^2
c) 4x^3 + 4x^2 + x
d) x(x-1) + x(x+2)
e) x^3 -x
f) 3x^4 - 24x^3 + 48x^2