Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado es de la siguiente forma:

Estas ecuaciones han de resolverse con una herramienta esencial, esta herramienta es una fórmula que deberás memorizar:

El doble signo (+ -) quiere decir que puede haber dos soluciones, y se debería resolver dos veces. Una empleando el signo positivo y otra el negativo. Si queremos visualizar un ejemplo de una ecuación de segundo grado con solución sería de esta forma:

Número de soluciones

Una ecuación de Segundo Grado puede tener resultar tener:

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Las ecuaciones de Segundo Grado ax^2 + bx + c = 0 en las que los coeficientes b o c son cero, se llaman incompletas. Aunque se pueden resolver aplicando la fórmula, también es posible hacerlo de forma mucho más sencilla.

Para las ecuaciones sin término en x o más bien llamado, término b, se utiliza esta fórmula:

Para las ecuaciones sin término independiente o c se utiliza la siguiente fórmula:

Reglas para resolver ecuaciones de 2º Grado

1. Si la ecuación de segundo grado está completa (tiene todos sus términos), aplica la fórmula.
2. Si es una ecuación incompleta, tal y como hemos visto, puedes resolverla con las fórmulas anteriores.
3. Si tiene una fisionomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer término. Sólo cuando esté simplificada aplica la fórmula.
4. Comprueba las soluciones. Si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x^2 - 6x + 5 = 0
b) x^2 - 5x + 6 = 0
c) 6x^2 - 5x + 1 = 0
e) 4x^2 - 4x + 1 = 0
f) x^2 - x + 1 = 0
g) 5x^2 + 7x = 0
h) 4x^2 - 9 = 0

2. Resuelve estas ecuaciones:

a) 3x^2 - 75 = 0
b) 2x^2 + 10 = 0
c) 7x^2 - 5x = 0
d) 3(x^2 + 5) = x^2 + 40
e) 5x^2 - 5 = 0
f) 5x^2 + 5 = 0
g) 7x^2 + 5 = 18
h) 2x^2 - 6x = 0
i) 5x^2 + 7x = 0
g) 3x^2 - 2(x-5) = (x+3)^2 - 19

3. Resuelve la ecuación:

(x+2)^2 / 5 - x^2-9/4 = (x+3)^2/2 + 1/5

4. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es 3cm más largo que el mediano, y este, 3cm más largo que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados?

5. Resuelve:

a) (5x-4)(2x+3)=5
b) x^2-3x / 2 - 5 = x-20/4

6. El producto de un número natural por el siguiente es 272. Calcula dichos números.

7. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcúlalos.

Ecuaciones de Primer Grado

A las ecuaciones polinómicas de primer grado se les llama, simplemente de primer grado. En ellas, la x sólo aparece elevada a 1 (x^1 = x) Por ejemplo:

Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo a diferente a 0.

Las ecuaciones de primer grado tienen una única solución, que se obtiene despejando la incógnita. Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones.

Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones.

Ecuaciones Equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución o ambas carecen de solución:

Transformaciones que mantienen la equivalencia de las ecuaciones:

Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que x esté más próxima a ser despejada.

PASOS PARA DESPEJAR UNA INCÓGNITA

1. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su m.c.m.
2. Quitar paréntesis, si los hay.
3. Pasar los términos en x a un miembro y los números a otro miembro.
4. Simplificar cada miembro.
5. Despejar la x. Se obtiene así la solución.
6. Comprobación. Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

• x/15 + x = 2x/5 + 10
• x/2 + x/4 + x/8 = 3x/4 + 1/4
• x + 2x-3/9 + x-1/3 = 12x+4/9
• 3(x+2)/4 + 3x+5/2 = 5(x+1)/6 + 25/12
• x- 6x-4/5 = x-3
• 5 - 6x-4/5 = x-3
• x/3 - x-1/2 = x-13/9
• x-1/4 + 3x - x+7/6 = 4x+7/9 + 11
• (2x-4)^2/8 = x(x+1)/2 +5
• 21-x/5 + 2x-7/15 = 8 - 5x-5/10
• 3(x-4)/4 - x = x-3
• (x+1) (x-1) / 3 = 2 ( x^2 + 1) /6
• (2x-2) (2x+2) = 7x+2/3 + (2x)^2
• 25/3 (x-1) + 2x-7/4 = 5/2 (x-6) + 45/4

Ecuaciones

Una ecuación, más que una igualdad, es una propuesta de igualdad en la que solo interviene una letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene solución.

Tipos de ecuaciones

• Ecuaciones polinómicas. La incógnita aparece solamente en expresiones polinómicas.

• Con radicales:

• Con la x en el denominador:

• Ecuaciones con la x en el exponente:

Ejercicios:

1. ¿Es el valor 5 solución de alguna de estas ecuaciones? Justifica tu respuesta:

a) 7x+1=34

b) x^4-400=325

c) 10x+25=x^3

d) 1^x =5

e) (x+7)^2=144

f)  x^2+6x+5=0

g)  x^2+7=4x+12

h) 2^x=32

i)  x^3+x^2+x+1=156

j)  3(x^2+1)=78

2. En el ejercicio anterior hay varias ecuaciones polinómicas. Escríbelas y dí cuál es su grado.

Ejercicios de Polinomios e Identidades

1. Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios y di cuales son semejantes:

a)-7x^2
b) 5/3x
c)(1/2x)^2
d)-6x
e)7x^3
f)2/3x · 4x^2
g)5/3 x^2

2. Efectúa:

a) 5x^2 - 3x^2 - x^2
b) -2x + 7x - 10x
c) -x^3 - 2x^3 + 2x^3
d) x - 2x/5 - 1/3x
e) 3x - 2/5x - x/2
f) 5/3 x^2 - x^2 + x^2/2

3. Simplifica estas expresiones:

a) 2x^3 - 5x + 3 -1 - 2x^3 + x^2
b) (2x^2 + 5x - 7) - (x^2 - 6x + 1)
c) 3x - (2x+8) - (x^2 - 3x)
d) 7 - 2(x^+ 3) + x(x-3)

4. Efectúa y reduce:

a) 3x^2 · 5x + 2x(-3x^2)
b) 3/5x^2 (-2/3x^3)
c) x^3/3 - 2x/3x^2
d) 6x^3 - x^4/x^2

5. Opera y simplifica:

a) (2x)^3 - (3x)^2 · x - 5x^2 (-3x+1)
b) 5/3 (4/4x) - (4x) - 1/2 (4x^2 - 5)
c) (2x^2 - x + 3) (x-3)
d) (-x^2 + 3x - 5) (2x-1)

6. Considera estos polinomios:

A. x^4 - 3x^2 + 5x - 1
B. 2x^2 - 6x + 3
C. 2x^4+x^3 - x - 4

A+B ; A+C ; A+C+B; A-B; C-B

7. Multiplica:

a) (x^2- 5x-1)·(x-2)
b) (3x^3-5x^2+6)·(2x+1)
c) (2x^2+x-3)·(x^2-2)

8. Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) (x+7)^2
b) (x-11)^2
c) (2x+1)^2
d) (3x-4)^2
e) (2/5x-5)^2
f) (2/5 + 4x)^2

9. Extrae factor común:

a) 5x+10x^2
b) -x^2+x-3x^3
c) 3x^2-6x+9x^2
d) 2x^3-4/3x^2+2x
e) a(x-1)+b(x-1)+c(x-1)
f) x^2(x-1)+x^2(x-2)+x^2(x-3)
g) 2x(y-1)+x(y-1)-x(y-1)

10. Desarrolla los siguientes productos notables:

a) (x-3y)^2
b) (x/3-y/2)^2
c) (3x+2x^2)^2
d) (x-1/2x)^2
e) (5x/2+x^2)^2
f) (3/2x - 1/4y)^2

11. Multiplica:

a) (x+7)(x-7)
b) (1+x)(1-x)
c) (3-4x)(3+4x)
d) (2x-1)(2x+1)
e) (1/3-2x^2)(1/3+2x^2)
f) (3/2x - 1/4y)^2

12. Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (3x+1/2)(3x- 1/2)
b) (x^2+1)(x^2-1)
c) (x/2+y)(x/2-y)
d) (x^2-x)(x^2+x)

13. Reduce las siguientes expresiones:

a) 3(x+3) / 2 - 2(2-3x) + 2(-x+3)
b) 3x+3 / 4 - 3x-2 / 3 - x+3 / 12
c) x+7 / 2 - 7-x / 7 - x-7 / 12

14. Reduce las siguientes expresiones:

a) (x+1) ( x-1) - 3(x+2) - x(x+2)
b) (2x+3)^2 - (-2x+3)^2
c) 5+x / 4 - 5-x / 5 - 1+x / 4
d) 2/3(x+3) · (x+ 1/3) - 1/3 ( x^2 + 1)
e) (x-1/3)(x+1/3)-1/3 (x^2+1)
f) (x+1)^2 - (x-2)(x-3)-5/4x
g) x(x-3)/2 + x(x-2)/4 - (3x-2)^2 / 8
h) 3/2 (x/2-2)^2
i) 5/8 + 3/2 [x/2 - (x/4 + 1/6) - 5/2]

15. Opera y simplifica

a) (x+ 1/2)^2 - (x-1/2)^2
b)  (x^2 - 3x + 4) - (x+2)^2
c) (2x/3 + 1)^2 - (2x/3 + 1) (2x/3 + 1) (2x/3-1)
d) (4/5x + 2/3) (4/5x - 2/3) - (4/5x-2/3)^2

16. Multiplica por 24 y simplifica el resultado:

x+5 / 3 - 2x+7 / 4 + 3(2x-1) / 8

17. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

2 - 3(x-2) / 6 + 4x - (2x+1 / 3 + 4)

18. Multiplica la siguiente expresión por el m.c.m de los denominadores y simplifica el resultado:

2(x+4) / 3 - 3(2x+2) / 5 + 3x-2

19. Multiplica por 6 y simplifica el resultado:

(x+4)^2 / 3 - (2x-1) ^2 / 2

20. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:

a) x^2 + 4x + 4
b) x^2+9+6x
c) 4x^2 + 4x+1
d) 9x^2 - 12x + 4
e) 9x^2 - 10x + 25
f) x^2 + 49 - 14x
g) 4x^2+ 9 -12x
h) x^4 + 4x^2+ 4

21. Expresa como producto de una suma por una diferencia:

a) 9x^2 - 25
b) 16x^2 - 1
c) 1- x^2
d) x^4- 16
e) 4x^2 - 9
f) 49 - 4x^2

22. Transforma en producto:

a) x^3 + 6x^2 + 9x
b) x^4 - 16x^2
c) 4x^3 + 4x^2 + x
d) x(x-1) + x(x+2)
e) x^3 -x
f) 3x^4 - 24x^3 + 48x^2

Identidades

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para los valores cualesquiera de las letras que intervengan.

Identidades notables

Se suelen llamar así a las tres igualdades siguientes:

Utilidad de las identidades notables

Para trabajar las matemáticas, hemos de ser capaces de "crear identidades ventajosas", es decir, debemos operar convenientemente con las expresiones algebraicas.

a^n·a^b = (a·b)^n

a · (b+c) = a·b+a·c

a- (b+c) = a-b-c 

Ejercicios

1. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1)^2

b) (x+3)^2

c) (x-3)^2

d) (2x-1)^2

e) (5x+2)^2

f) (5x+2y)^2

2. Expresa en forma de producto:

a) x^2+2x+1

b) x^2+4+4x

c) 4x^2+9+12x

3. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1) (x-1)

b) (x+3)(x-3)

c) (2x-5)(2x+5)

d) (x^2+2)(x^2-2)

4. Expresa en forma de producto:

a) x^2-2x+1

b) x^2-4

c) x^2-1

d) 4x^2-9

e) 16y^2-x^2

f) x^2-1

g) x^2/4 + x + 1

5. Multiplica la siguiente expresión por 15 y simplifica el resultado:

x/15 + x - 2x/5 - 10

6. Multiplica por 8 y simplifica el resultado:

x/2 + x/4 + x/8 - 3x/4 - 1/4

7. Multiplica por 9 y simplifica el resultado:

x + (2x-3/9) + (x-1/3) - (12x+4/9)

8. Multiplica por 12 y simplifica el resultado:

3(x+2)/4 + 3x+5/2 + 5(4x+1)/6 + 25/12

9. Multiplica por 5 y simplifica el resultado:

5- 6x-4/5 - (x-3)

10. Multiplica por 18 y simplifica el resultado:

x/3 - x-1/2 - x-13/9

11. Multiplica por 36 y simplifica el resultado:

x-1/4 + 36 - x+7/6 - (4x+7/9 + 11)

12. Multiplica por 8 y simplifica los resultados:

(2x-4)^2/8 - x(x+1)/2 - 5

13. Multiplica por 20 y simplifica el resultado:

(x+2)^2/5 - x^2-9/4 + (x+3)^2/2 + 1/5

14. Simplifica:

a) (x+3)^2 - [x^2+(x-3)^2]

b) (5x-4)(2x+3)-5

c) 3(x^2+5)- (x^2+40)

d) 3x^2-2(x+5)-(x+3)^2+19

Polinomios

• Un Polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los dos monomios que lo forman se llama término. 
• Puede haber varios monomios semejantes. Conviene operar con ellos simplificando la expresión.
• Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados que componen el monomio en su forma reducida. Es necesario reducir el polinomio antes de reducir ya que los mayores puede que desaparezcan.

Suma y Resta de Polinomios

Agrupamos sus términos y simplificamos los monomios semejantes:

Producto de un Monomio por un Polinomio

Se multiplican el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Productos de dos Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y después se suman los monomios semejantes obtenidos.

Sacar Factor Común

En la expresión 3xy + 6x^2z+ xyz, la x está multiplicando en todos los sumandos. Es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera de este modo:

3xy + 6x^2z + xyz = x ( 3y + 6xz + yz)

A esta operación se la llama sacar factor común.

Ejercicios

1. Di el Grado de cada uno de estos polinomios:

a) x^5-6x^2+3x+1

b) 5xy^4+2y^2+3x^3y^3-2xy

c) x^2+3x^3-5x^2+x^3-3-4x^3

2. Sean P= x^4-3x^3+5x+3, Q=5x^3 +3x^2-11

Halla P+Q y P-Q

3. Halla los productos siguientes:

a) x(2x+y+1)

b) ab (a+b)

c) x^2y (x+y+1)

d) 6x^2y^2 (x^2-x+1)

e) 3a^2b^3)a-b+1)

f) 2a^2 (3a^2+5a^3)

g) 5(3x^2+7x+11)

h) 5xy^2(2x+3y)

i) -2 (5x^3+3x^2-8)

j) -2x (3x^2-5x+8)

4. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica:

a)3(x^3-5x+7) - (2x^3+6x^2+11x+4)

b) 2x(3x^2-5x+1) + 5(3x^2-5x+1) - 21/4x^2

c) 8· [3(x+2)/2 - y-x/2 - y/6 - 3]

d) 6· [ 3(x-5)/2 - y-x/2 - y/6-3]

e) -3(x-y-4)/7 - 10 - (y-1/3)

f) 2(x-1) + 3(y+4) - 2(3x+y)/5 + 9

g) (3x^3-2x^2+11) x^2-3/21

h) (x^2/2 - 3x + 1/3) · (6x^2 - 6) + (x^3-11x+31)

5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 3x^2+6x

b) a^4-3a^2

c) (x+1)a+(x+1)b-(x-1)

d) 6x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

e) x(x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

f) x/2(x-+5)-x/2

g) x/3-(x^2+1)x

h) x^2+1/3-x^2+1/5

i) xy/5-3xy(3x+1)

j)xy^2(x+1)-xy/2 (x+1)

El lenguaje Algebraico

Trabajar el lenguaje algebraico consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan con letras. Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

• Monomios : 3x>2
• Polinomios: 2x>2 - 7x +1

Algunas expresiones algebráicas son igualdades:

• Identidades: 3(x+4)= 3x+12. La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.
• Ecuaciones: 3 (x+4) = 27. La igualdad sólo es cierta para algún valor de x. En este caso x=5.

Para comenzar a trabajar con identidades y ecuaciones, cabe saber en primer lugar los formalismos algebraicos, estos consisten en:

1. El factor 1 no se escribe  1·x = x
2. El exponente 1 tampoco se escribe x>1 = x
3. El divisor 1 tampoco se pone x/1 =x
4. El signo de multiplicación tampoco se pone.
5. El número SIEMPRE delante de la letra.
6. Tener presente la propiedad distributiva.

Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un determinado problema, se obtienen expresiones algebraicas como:

• Monomios
• Polinomios
• Identidades
• Ecuaciones

Algunos Ejercicios:

1. La edad de Ángel, dentro de 15 años, será el doble de la que entonces tenga Marisa.

2. Si gasto 2/5 de lo que tengo y además 60€, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.

3. Expresa mediante una ecuación la siguiente relación: "La edad de Ángel dentro de 5 años será el cuádruple de la que tiene ahora Marisa".

4. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:

a) A un número le quitas 7

b) El doble de un número mas su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

5. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso.

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es la mitad del ancho 

c) La altura es 20cm menos que el ancho

d) La altura es los 3/4 del ancho

e) La altura es un 20% menor de su ancho