Sistemas de medidas de ángulos
Sistema Sexagesimal
En el sistema sexagesimal de medida de ángulos, la unidad es el grado sexagesimal que se define como la trescientos sesentava parte de un ángulo completo. Tiene dos divisores que son el minuto que es la sesentava parte de un grado y el segundo que es la sesentava parte de un minuto. La notación que se emplea en este sistema es:
Como consecuencia de esta definición:
Sistema Internacional
En el sistema internacional, la unidad de medida de ángulos es el radián. El radián es un ángulo tal que cualquier arco que se le asocie mide exactamente lo mismo que el radio utilizado para trazarlo. Se denota por rad.
A un ángulo completo le corresponde un arco de longitud 2𝜋R, a un radián un arco de longitud R, entonces:
Y en relación con el sistema sexagesimal, la obtenemos a partir del ángulo completo:
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Razones trigonométricas directas de un ángulo agudo.
Consideramos un ángulo agudo cualquiera, utilizaremos la letra griega α (alfa) para denotarlo. Es siempre posible construir un triángulo rectángulo de modo que α sea uno de sus ángulos.
Sea ABC uno de estos triángulos y situemos en el vértice B, el ángulo α. Se definen las razones trigonométricas directas del ángulo α:
seno de α = sen B = Cateto opuesto / hipotenusa = b/a
coseno de α = cos α = cos B = cateto contiguo / hipotenusa = c/a
tangente de α = tan α = tan B = cateto opuesto / cateto contiguo = b/c
Razones fundamentales
Si conocemos una de las razones trigonométricas del ángulo α, es posible calcular las razones trigonométricas restantes, gracias a las dos razones trigonométricas fundamentales siguientes:
Primera razón fundamental: (sen α)^2 + (cos α)^ 2 = 1
Segunda razón fundamental: tan α = sen α/ cos α
Otras razones trigonométricas
Otras razones trigonométricas de un ángulo α son una cosecante, la secante y la cotangente de α y sus notaciones son cosec α, sec α, coton α.
Con su definición, aparecen nuevas identidades trigonométricas, entre las que destacan:
sen α · cosec α = 1 ; cos α · sec α = 1 ; tan α · cotan α = 1
sec^2 α = 1 + tan^2 α
cosec^2 α = 1 + cotan^2 α
Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
Razones trigonométricas de 30º y 60º
Consideramos un triángulo equilátero de lado L. Trazamos la altura correspondiente al lado sobre el que se apoya. Con ello queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 30º y 60º. Además la hipotenusa mide L y uno de sus catetos L/2. Por el teorema de Pitágoras podemos obtener el que nos falta y a partir de ahí todas las razones trigonométricas en el triángulo ABH.
Razones trigonométricas de 45º
Usando un triángulo rectángulo isósceles. Pongamos que los dos catetos tienen una longitud L. Utilizamos de nuevo el teorema de Pitágoras y obtenemos el valor de la hipotenusa x en función de L. Después podremos calcular las razones trigonométricas.
3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Se llama circunferencia trigonométrica a una circunferencia de radio unidad centrada en el origen de coordenadas.
Es posible representar cualquier ángulo en la circunferencia trigonométrica. Para ello se toma un lado fijo que es la semirrecta definida por la parte positiva del eje de abscisas; el segundo lado es la semirrecta variable que corresponda según su medida. El sentido de un ángulo se mide de OX + a la semirrecta variable que determina su amplitud. Se entiende que para un ángulo negativo coincide con el de las agujas de un reloj analógico y para un ángulo positivo, el contrario.
La circunferencia trigonométrica divide al plano en cuatro regiones que se denominan cuadrantes.
Reducción al primer cuadrante
Los ángulos de los cuadrantes segundo, tercero o cuarto pueden relacionarse con ángulos agudos que podemos situar en el primer cuadrante y que tienen razones trigonométricas con los mismos valores absolutos que los ángulos iniciales.
Segundo cuadrante
sen ∝ = sen β y cos ∝ = - cos β
Tercer cuadrante
sen ∝ = - sen β y cos ∝ = - cos β
Cuarto cuadrante
sen ∝ = - sen β y cos ∝ = - cos β
EJERCICIOS
Expresa en radianes las siguientes medidas: 45º, 150º, 210º, 315º
Expresa en grados sexagesimales: 2𝜋/3 , 𝜋/5 , 3𝜋/8 radianes.
Dos ángulos de un triángulo miden respectivamente 40º y 𝜋/3 radianes. Calcula en radianes lo que mide el tercer ángulo.
Un ángulo de un triángulo isósceles mide 5𝜋/6 radianes. Calcula en radianes la medida de los otros dos.
Dibuja un triángulo rectángulo isósceles y expresa en radianes la medida de cada uno de sus ángulos.
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos miden b = 30 cm y c = 40 cm.
Sabiendo que α es un ángulo agudo, calcula las restantes razones trigonométricas de α en los casos siguientes:
sen α = ⅕
tan α = 3
Sabiendo que cos α = ⅓, calcula las razones trigonométricas secante, cosecante y cotangente de α.
Si cotan α = 2, calcula las cinco razones trigonométricas del ángulo α.
Resuelve el triángulo ABC con ángulo recto en A en los dos casos siguientes:
B = 42º y la hipotenusa a = 12 m
Los catetos miden 12 dm y 5 dm
Dos personas separadas 30 metros ven un helicóptero. La persona situada en A dirige una visual a la base del mismo que forma con el suelo un ángulo de 30º. También la persona situada en B dirige su vista al mismo punto obteniendo un ángulo de 60º. ¿A qué altura vuela el helicóptero?
Sitúa en el cuadrante que corresponda y expresa en función de un ángulo agudo, el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos:
-225º
150º
-60º
315º
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