Soluciones. Trigonometría. Teoría y Ejercicios.

• Expresa en radianes las siguientes medidas: 45º, 150º, 210º, 315

• 45º son 0.785 radianes

• 150º son 2.61 radianes

• 210º son 3.66 radianes

• 315º son 5.49 radianes

• Expresa en grados sexagesimales: 2𝜋/3 , 𝜋/5 , 3𝜋/8 radianes.

• 2𝜋/3 son 120º

• 𝜋/5 son 36º

• 3𝜋/8 son 540º

• Dos ángulos de un triángulo miden respectivamente 40º y 𝜋/3 radianes. Calcula en radianes lo que mide el tercer ángulo. Mide 1.39 radianes

• Un ángulo de un triángulo isósceles mide 5𝜋/6 radianes. Calcula en radianes la medida de los otros dos.

Al ser un triángulo isósceles sus ángulos deben medir 180º, que en radianes es 𝜋.

El triángulo isósceles debe tener dos lados iguales por lo cual:

𝜋 - 1.57 = 1.57 radianes deben medir entre los dos ángulos iguales, para saber lo que mide cada uno

1.57 : 2 = 0.78 radianes cada ángulo.

• Dibuja un triángulo rectángulo isósceles y expresa en radianes la medida de cada uno de sus ángulos.

Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos de 45º. 

• 90º serían  𝜋/2

• 45º serían 5𝜋/12

• Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos miden b = 30 cm y c = 40 cm.

• Sabiendo que α es un ángulo agudo, calcula las restantes razones trigonométricas de α en los casos:

1. sen α = ⅕ ; cos α = 2√6/5 ; tang α = √6/12

2. tan α = 3 ;  cos α = √10/10; sen α = 3√10/10

• Sabiendo que cos α = ⅓, calcula las razones trigonométricas secante, cosecante y cotangente de α.

secante α = 2√2/3; cosec α = 3√2/4 ; tang α = 2√2 ;  cotan α = √2/

• Si cotan α = 2, calcula las cinco razones trigonométricas del ángulo α.

sen α = √3/6 ; cos α = √3/2 ; tang α = ⅓ ; secante α = 2√3/3; cosec α = √2/3 ; cotan α = 3

• Resuelve el triángulo ABC con ángulo recto en A en los dos casos siguientes:

1. B = 42º y la hipotenusa a = 12 m

2. Los catetos miden 12 dm y 5 dm

• Dos personas separadas 30 metros ven un helicóptero. La persona situada en A dirige una visual a la base del mismo que forma con el suelo un ángulo de 30º. También la persona situada en B dirige su vista al mismo punto obteniendo un ángulo de 60º. ¿A qué altura vuela el helicóptero?

• Sitúa en el cuadrante que corresponda y expresa en función de un ángulo agudo, el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos:

• (-225)º : 

• Está en el 3º cuadrante.

• seno -225º= (-225º + 180º)= seno 45º =  √2/2

• cos -225º = cos 45º = - √2/2

• tn - 225º = tn 45º = - 1

• 150º :

• Está en el 2º cuadrante.

• seno 150º = seno 30º = ½

• cos 150º = cos 30º = - √3/2

• tn 150º = tn 30º = -√3/3

• -60º :

• Está en el 1º cuadrante.

• seno - 60º = cos -30º = -  ½

• cos - 60º = seno -30º= √3/2

• tn - 60º = tn 30º = -√3/3

• 315º :

• Está en el 4º cuadrante.

• seno 315º = seno 45º = -√2/2

• coseno 315º = cos 45º =√2/2

• tn 315º = tn 45º= -1

Teorema de Thales y Simetría (Tarea 1)

1. ¿Observa estos tres rectángulos e indica si son semejantes entre sí y por qué?

2. La distancia que separa dos puntos en la realidad es de 2 km. En un plano están separados por 5 cm. ¿Cuál es la escala del plano?

3. Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes los siguientes triángulos:

4. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 0,5 metros.

5. Observa las medidas del gráfico y calcula la altura del faro:

6. Observa estas tres fotografías e indica si son similares y por qué:

7. En un mapa hecho a escala 1:400000. La distancia que separa dos ciudades es de 8 cm. ¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?

8. La distancia real, en línea recta, entre dos ciudades es de 48 km. En un mapa están separadas por 16 cm. ¿Cuál es la escala del mapa?

9. Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos:

10. Razona apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos por qué son semejantes los siguientes triángulos:

11. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 metros en el momento en que otro árbol que mide 2,5 m proyecta una sombra de 4 metros.

12. Desde la cima de una columna, se ha tendido un cable AB, que forma un ángulo de 30º con el suelo, y mide 40 m de longitud. ¿Cuál es la altura de la columna?

Problemas de Geometría (Tarea 2)

1. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

2. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

3. Un rectángulo mide 16 cm de altura y 30 cm de base. ¿Cuánto mide su diagonal?

4. En una circunferencia, una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

5. Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito un pentágono regular de 8 cm de lado y 5,5 cm de apotema.

6. Encuentra el área de la figura NO coloreada sabiendo que el radio de la circunferencia es 8 cm.

7. Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 9 cm, 12 cm y 15 cm. Averigua si el triángulo es rectángulo.

8. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 29 cm y uno de los catetos mide 21 cm. Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo.

9. Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyo lado mide 325 mm y su diagonal menor 390 mm.

10. La base mayor de un trapecio isósceles mide 35 cm y la menor 15 cm. La altura es igual a 10,5 cm. ¿Cuánto mide su perímetro y su área?

Problemas de Geometría (Tarea 1)

1. Los lados de un rectángulo miden uno el doble que el otro y su diagonal 26 cm. ¿Cuáles son sus  dimensiones? Calcula el área y el perímetro.

2. Las diagonales de un rombo miden una el triple que la otra. Si el lado mide 20 cm, calcula el perímetro y área.

3. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo de bases 43 y 28 cm y altura 25 cm. Indica cuánto mide el lado oblicuo.

4. Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles de bases 43 y 28 cm, y altura 25 cm. Indica cuánto miden los lados oblicuos.

5. Calcula altura, perímetro y área de un triángulo equilátero de lados 12 cm.

6. Calcula el perímetro y área de un hexágono regular de lado 8 cm. Indica cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita y la apotema.

7. Calcula el perímetro y área de un octógono regular de radio 13 cm y apotema 12 cm. Indica cuánto mide el lado.

8. Calcula a qué distancia del centro de la circunferencia de radio 29 cm se encuentra una cuerda de 40 cm.

Problemas con Sistemas de ecuaciones (Tarea 1)

1. Una cooperativa ha envasado 2000 litros de aceite en botellas de 1.5 l y 2 l. Han usado 1100 botellas en total. ¿Cuántas se han necesitado de cada clase?

2. Una botella llena de leche pesa 1220 g. Cuando está media, pesa 854 g. ¿Cuánto pesa la botella vacía?

3. Un test de opción múltiple consiste en 50 preguntas y debemos contestarlas todas. Por cada respuesta correcta ganas un punto y por cada error te quitan 0.5 puntos. Si mi nota ha sido 24.5, ¿Cuántos fallos y aciertos he tenido?

4. Encuentra dos números naturales cuya suma sea 154 y su cociente sea 8/3.

5. Si la base de un trapecio es la suma de los dos lados oblicuos y su perímetro es 38 m, ¿Cuánto miden sus lados?

6. Los estudiantes de una escuela son en total 420, el 42% de los estudiantes están en la ESO y el 52% de los estudiantes de secundaria son niñas, lo que representa un total de 196 mujeres. ¿Cuántos estudiantes hay en ESO y en la escuela secundaria?

7. Pagué 55.75 € por una camiseta y unos pantalones que costaban 70€ entre los dos. La camiseta tenía un 18% de descuento, y los pantalones, 22%. ¿Cuál era el precio original de cada cosa?

8. Halla una fracción tal que si se le suma una unidad al numerador y se deja el mismo denominador, la fracción es igual a 1/2. Y si se mantiene el numerador inicial y se suman 3 unidades al denominador, a fracción es igual a 1/3.

9. Encuentra dos números naturales que sumados den 140 y que dividiendo el mayor entre el menor obtengamos 2 de cociente y 14 de resto.

10. La suma de las edades de una madre y su hijo son 56 años. 10 años antes, la edad de la madre eran cinco veces la edad del niño. ¿Qué edad es esa?

11. La edad de Carmen es el triple que la de su hija Maite, pero en 15 años si edad será dos veces la de su hija. ¿Qué edad es esa?

12. Entre dos autobuses viajan 120 personas. Si del que lleva más pasajeros se trasladan los 2/5 al otro, los dos llevarán el mismo número de personas. ¿Cuántos viajeros lleva cada autobús?

13. Una empresa recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para una fecha determinada. Al planificar la producción, el gerente advierte que si se fabricasen 250 macetas diarias, faltarían 150 macetas al concluir el plazo. Pero si se fabricasen 260 macetas diarias, sobrarían 80. ¿Cuántos días de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron?

14. Por unos pantalones y unos zapatos, yo he pagado 126€. Si el precio de los pantalones se incrementa el 14%, significaría el 75% del precio de los zapatos. ¿Cuánto he pagado por cada uno?

15. Si te doy 4 de los libros que tengo, entonces tú tendrás el doble que yo. Si tú me das 6 de los tuyos, entonces seré yo el que tenga el doble que tú. ¿Cuántos libros tenemos cada uno?

16. Un comerciante compró 35 sets de un tipo de juego y 25 de otro tipo y pagó por ello 1220 €. Con la venta del primero el ganó 25% y con la venta del segundo el perdió el 5%. al final el consiguió 170€ de ganancia en total. Calcula lo que costó cada juego.

17. Un autobús sale de A a 90 km/h. Cuando ha recorrido 25 km, sale de A un coche a 110 km/h que quiere alcanzar al autobús. ¿Cuánto tiempo tarda en hacerlo y qué distancia recorre hasta conseguirlo?

18. Un tren regional sale de una estación a una velocidad de 85 km/h. Media hora más tarde sale otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. Calcula el tiempo que tardará en alcanzarlo y la distancia recorrida hasta lograrlo.

19. Dos ciudades, A y B, distan 234 km. De A sale un autobús en dirección a B y simultáneamente sale de B un tren en dirección a A. Tardan en cruzarse 1 hora y 30 minutos. ¿Cuál es la velocidad de cada uno sabiendo que la del autobús supera a la del tren en 5 km/h?

20. Un autobús escolar hace la ruta entre dos pueblos, A y B. Cuando va con niños lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora más que si va vacío. Si sabemos que cuando va sin niños lleva una velocidad de 100 km/h, ¿Cuál es la distancia de A y B?


21. Si en un depósito que contiene agua a 50ºC añadimos agua a 15ºC, obtenemos 150 l a 36ºC. ¿Cuántos litros había en el depósito y cuántos hemos añadido?

22. Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza con un anillo del 64% de pureza. Así se han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del 76%. ¿Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo?

23. Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, obtenemos el doble de la cifra de las decenas del número inicial. Hállalo sabiendo que sus cifras suman 16.

24. La diferencia de dos números es 2, y la diferencia de sus cuadrados es 20. Encuentra los números.

25. La diagonal de un rectángulo es 15 cm, y su perímetro es 42 cm. Calcula sus lados.

26. En un triángulo rectángulo, la diferencia entre las medidas de sus catetos es 6 cm. Si la hipotenusa es 30 cm, ¿Cuánto miden los catetos?

27. Si la base de un rectángulo disminuye 80 cm y su altura aumenta 20 cm, su área disminuye 400 cm2. Halla las dimensiones del rectángulo.

28. Las medidas de las diagonales de un rombo suman 14 cm y su área son 56 cm2. ¿Cuánto mide cada diagonal?

29. El perímetro de este triángulo es 36 cm y su altura es 12 cm. Calcula la medida de sus lados.