Números Enteros

NÚMEROS ENTEROS

Los números naturales sirven para contar. Pero, a veces, para contar se requieren cantidades negativas: para nosotros el año -240 es el año 240 antes de Cristo; un saldo de -92€ significa que debemos 92€.

Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, que se designa por Z.

Se pueden representar sobre una recta de este modo:

Esta forma de ser representados supone el siguiente criterio de ordenación:

• Los naturales (el cero y los números positivos) ya estaban ordenados.
• Todos los números naturales son mayores que los negativos.

1. Ordenar, de mayor a menor los números siguientes:

-3   +2   -1   +1   5   -4   +3

2. Escribe los números enteros comprendidos entre -4 y +3

3. Escribe el símbolo < o > según corresponda:

a) -4     +3

b) +6    +4

c) -1     -5

d) +3    -2

4. Utiliza los números enteros para expresar:

a)      El año 30 antes de Cristo.

b)      Me han ingresado 15 € en mi cuenta de ahorros.

c)      Mi pueblo se encuentra a 25 metros sobre el nivel del mar.

d)      Mi coche se encuentra aparcado en la 3ª planta del sótano e unos grandes almacenes.

e)      La temperatura media de mi pueblo en el verano es de 32º bajo cero.

f)        El año del descubrimiento de América.

5. Forma los opuestos de los números:

a)      -5

b)      +6

c)      -3

d)      +7

¿Cuáles serían los opuestos de los opuestos?

6. ¿Cuál es el número entero comprendido entre -3 y -5?

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe |a|. Se escribe |a| y se define del siguiente modo:

• El valor absoluto de un número natural es él mismo: |a| = a
• El valor absoluto de un número negativo es el opuesto: |-b| = b

7. ¿Qué valores puede tomar |a| = 5? Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros:

a)      |-5| =

b)      |+2| =

c)      |+0| =

d)      |-1| =

8. Ordena, en sentido creciente. Representa gráficamente, y calcula los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

8   -6   -5   3   -2   4   -4   9   0   7

9. Representa gráficamente y calcula los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

-4   6   -2   1   -5   0   9

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros se pueden sumar, restar y multiplicar y el resultado de esas operaciones es también un número entero. Sin embargo, al igual que en los naturales, la división de números enteros sólo es un número entero cuando el dividendo es múltiplo del divisor. Las operaciones con signos tienen varias peculiaridades:

• Para la suma y la resta: si los signos son iguales ( - o +) se suman y se coloca el mismo signo.
• Para la multiplicación, la regla de los signos:
• + · + = +
• + · - = -
• - · + = -
• - · - = +

10. Calcula:

(+3) + (+2) =

(+5) + (-3) =

(-6) + (+3) =

(-2) + (-5) =

(+5) – (+3) =

(+1) – (-4) =

(-4) – (+2) =

(-6) – (-5) =

11. Calcula las siguientes sumas.

[(-3) + (-4)] + (+5)=

[(-2) + (+3)] + (-8) =

[(+5) + (-2)] + (-4) =

[(+8) + (+3)] + (-5) =

(-3) + [(-4) +( +5)] =

(-2) + [(+3) + (-8)] =

(+5) + [(-2) + (-4)] =

8+8) + [(+3) + (-5)] =

12. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

-(4 – 3) + (5 – 2) – ( 7+ 3) =

- 3 – [5 – (4 – 8)] =

- (8+9) – [ 2 – 5 – (3 – 7)]=

- 3 -4 – (3 – 6) – (8 + 5) =

5 – 2 – [ 5 – (3 – 4) – 5]=

13. Realiza las siguientes operaciones:

(+4) · (-7) =

(- 28) : (+ 2) =

[(+5) – (-3)] · 3 =

(+5) · (+12) =

(+2) · (+5) · (-7) =

(+16) : [(+5) + (-1)] =

(-6) : (-3) =

(+60) : (-5) : (-4) =

(+24) : (-3) : (+2) – (-3) =

14. Calcula el resultado de estas operaciones

a)      9 – 12 + 5 – (+1) + 3 – 12 – 8 - 6 - 4 =

b)      12 – 6 + 8 – (-3) -5 + 9 – ( - 7) + 8=

c)      – ( - 12) – 8 + 6 – ( + 5) – 6 + ( - 7 ) – 2 =

d)      5 – ( - 12) – 8 + 6 – ( + 5) + 10 – 5 – ( -9) + 3=

e)      5 – ( -5) + 6 – 15 + 3 – (-6) – 7 + 5 – ( +2) + (- 13)=

15. Resuelve teniendo en cuenta las reglas de las operaciones combinadas:

OPERACIONES COMBINADAS Para realizar las operaciones combinadas debes tener en cuenta siempre que debes realizar primero paréntesis o corchetes si los hubiera, lo siguiente serían multiplicaciones y divisiones y por último suma y resta.

a)      – 3 · (-4) + (-3) · (-9) =

b)      7 · ( -12) + 7 · (+6) =

c)      -5 · (+11) + (-5) · (-10) =

d)      – 4 · ( + 8) + (- 4) · ( +21) =

e)      8 · ( -5) + 8 · ( + 14) + 8 · (- 6 )=

f)        3 · + 3 · (-5) =

g)      (-2) · 12 + ( -2) · (-6) =

h)      8 · 5 + 8 – 8 · (5 + 1)=

i)        ( - 3) · ( - 2) + ( - 3) · (-5)=

j)        ( 3 – 8) + [ 5 – (-2)] =

k)      5 – [ 6 – 2 – (1 – 8) – 3 + 6] + 5=

l)        9 : [ 6 : (-2) ] =

m)    (7 – 2 + 4) – (2 – 5) =

n)      1 – ( 5 – 3 + 2 ) – ( 5 – [ 5 – ( 6 – 3 + 1) – 2]=

o)      1 – (5 – 3 + 2) – [ 5 – (8 – 3)] =

p)      – 12 · + 18 : ( - 12 : 6 + 8) =

q)      2 · [( - 12 + 36) : 6 + ( 8 – 5) : ( -3)] =

r)       [(-2) · 5 + (-3) · 2)] : ( -2) · 2 – ( -32 · 9) : 4 =

s)       6 + 4 – [ 4 – [(17 – (4 · 4) ] + 3 ] – 5 =

16. El primero de mes, al señor García le ingresaron en su cuenta bancaria, que ya tenía 346 euros, su sueldo de 2.147 euros. En la primera semana sacó 65 y en la siguiente volvió a sacar 73 euros; el día 20 ingresó 125 euros que le tocaron en un juego de azar, el día 25 le cargaron en su cuenta la letra del coche, que eran 185 euros. ¿Qué dinero le queda a final de mes?

17. En un juego Antonio ganó 18 canicas, después perdió 15, más tarde ganó 12, después ganó 5 y finalmente perdió 8. ¿Cuál fue el resultado al cabo del juego?

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

La potenciación, cuando el exponente es un número entero y, por tanto, positivo o negativo, es muy fácil de interpretar con estas propiedades:

Si la base de la potencia es también un número entero, por ejemplo (-3)² tenemos que proceder igual que lo hacemos para calcular una potencia normal:

(- 3 )² = (- 3) · (- 3) = + 9

Para ayudarte, debes saber que si un número es negativo y está elevado a un número impar, este continuará siendo impar. Sin embargo, si está elevado a un número par, este se convertirá en positivo.

(-2)⁶ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = + 64

(-3)⁵ = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = - 243

18. Escribe en forma de potencia:

a)      (-2) · (-2) =

b)      (+5) · (+5) ·(+5) =

c)      (-4) ·(-4) ·(-4) ·(-4) =

d)      (-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) =

19. Escribe en forma de producto y calcula:

a)      (-2)⁶ =

b)      (+3)⁴ =

c)      (-10)⁵ =

d)      (-3)¹ =

e)      (-5)² =

f)        (-8)³ =

20. Completa la siguiente tabla:

POTENCIA	BASE	EXPONENTE	VALOR
(-1)7
(-2)4
(+3)3
(-4)2

21. Reduce a una sola potencia:

a)      5² · 5³ =

b)      a ⁵ · a ³ =

c)      2⁶ : 2⁴ =

d)      a ⁹ : a ⁸ =

e)      (4²) ³ =

f)        (a²) ² =

22. Realiza las siguientes potencias de números enteros:

a)      (-2)² · (-2)³ · (-2)⁴ =

b)      (-8) · (-2)² · (-2)⁰ · (-2) =

c)      (-2)^-2 · (-2)³ · (-2)⁴ =

d)      2^-2 · 2^-3 · 2⁴ =

e)      2² : 2³ =

f)        2² : 2^-3 =

g)      2^-2 : 2^-3 =

h)      [(-2) ^-2] ³ · (-2)³ · (-2)⁴ =

i)        [(-2)⁶ : (-2)³ ]³ · (-2) · (-2)^-4=

23. Realiza las siguientes operaciones de números enteros:

a)      (-2)² · (-2)³ · (-2)⁴ =

b)      (-8) · (-2)² · (-2)⁰ · (-2) =

c)      (-2)^-2 · (-2)³ · (-2)⁴ =

d)      2^-2 · 2^-3 · 2⁴ =

e)      2² : 2³ =

f)        2^-2 : 2³ =

g)      2² : 2^-3 =

h)      [(-2)  ^-2 ]³ · (-2)³ · (-2)⁴ =

i)        [(-2)⁶ : (-2)³]³ · (-2) · (-2)^-4 =

24. Transforma en una sola potencia

a.       (5)⁵ · (5)³ =

b.      (3)⁸ : (3)⁵=

c.       3² · 10² =

d.      75⁵: 5⁵=

e.       3² · 3⁴ · 3 =

f.        9¹² : 9⁸ =

g.       4³ · 4⁰ · 4 =

h.       10¹⁵: 10⁸=

i.         7⁵ · 7² · 7³ =

j.        (15² · 15³) : 15 ⁵ =

k.      5⁴ · 3⁴ =

l.         1⁶ · 7⁶ =

m.     (-8)⁴ · (-6)⁴ =

n.       7³ · 2³ =

o.      (-2)⁵ · 3⁵ =

p.      2³ · 5³ · 7³ =

q.      3⁷ · (-8)⁷ =

r.        8⁵ · 4⁵ =

s.       3⁹ · (-4)⁹ =

t.        4² · (-5)² · 3² =

u.       9¹⁰ · 2¹⁰ =

v.       (-3)⁵ · (-2)⁵ · (-4)⁵ =

25. Transforma en una única potencia 

w.     (7²)³ =

x.       (5⁴)³ =

y.       (2⁵)³ =

z.       (9⁷)² =

aa.   (4⁸)⁵ =

bb.  (1⁴) ² =

cc.   (3⁹) ⁰ =

dd.  (6³)⁹ =

26. Reduce a una sola potencia

a)      2⁴ · 2² =

b)      a² · a³ =

c)      (x⁶ : x³) · x² =

d)      18⁶ : 6⁶=

e)      30⁵ : (5⁵ · 3⁵) =

f)        2³ · 4⁵ : 8² =

g)      3⁵ · 2⁷ : (9²: 3³) =

h)      (-2)⁶ · 2³ : (-2) =

i)        5³ · 25⁵ : 12⁵ =

27. En un parque hay cinco lagos con cinco patos en cada lago. ¿cuántos patos habrá en total? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

28. Un granjero posee dos pocilgas con dos cerdos en cada una, ¿cuántos jamones obtendrá? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.