Identidades

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para los valores cualesquiera de las letras que intervengan.

Identidades notables

Se suelen llamar así a las tres igualdades siguientes:

Utilidad de las identidades notables

Para trabajar las matemáticas, hemos de ser capaces de "crear identidades ventajosas", es decir, debemos operar convenientemente con las expresiones algebraicas.

a^n·a^b = (a·b)^n

a · (b+c) = a·b+a·c

a- (b+c) = a-b-c 

Ejercicios

1. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1)^2

b) (x+3)^2

c) (x-3)^2

d) (2x-1)^2

e) (5x+2)^2

f) (5x+2y)^2

2. Expresa en forma de producto:

a) x^2+2x+1

b) x^2+4+4x

c) 4x^2+9+12x

3. Desarrolla las siguientes expresiones:

a) (x+1) (x-1)

b) (x+3)(x-3)

c) (2x-5)(2x+5)

d) (x^2+2)(x^2-2)

4. Expresa en forma de producto:

a) x^2-2x+1

b) x^2-4

c) x^2-1

d) 4x^2-9

e) 16y^2-x^2

f) x^2-1

g) x^2/4 + x + 1

5. Multiplica la siguiente expresión por 15 y simplifica el resultado:

x/15 + x - 2x/5 - 10

6. Multiplica por 8 y simplifica el resultado:

x/2 + x/4 + x/8 - 3x/4 - 1/4

7. Multiplica por 9 y simplifica el resultado:

x + (2x-3/9) + (x-1/3) - (12x+4/9)

8. Multiplica por 12 y simplifica el resultado:

3(x+2)/4 + 3x+5/2 + 5(4x+1)/6 + 25/12

9. Multiplica por 5 y simplifica el resultado:

5- 6x-4/5 - (x-3)

10. Multiplica por 18 y simplifica el resultado:

x/3 - x-1/2 - x-13/9

11. Multiplica por 36 y simplifica el resultado:

x-1/4 + 36 - x+7/6 - (4x+7/9 + 11)

12. Multiplica por 8 y simplifica los resultados:

(2x-4)^2/8 - x(x+1)/2 - 5

13. Multiplica por 20 y simplifica el resultado:

(x+2)^2/5 - x^2-9/4 + (x+3)^2/2 + 1/5

14. Simplifica:

a) (x+3)^2 - [x^2+(x-3)^2]

b) (5x-4)(2x+3)-5

c) 3(x^2+5)- (x^2+40)

d) 3x^2-2(x+5)-(x+3)^2+19

Polinomios

• Un Polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los dos monomios que lo forman se llama término. 
• Puede haber varios monomios semejantes. Conviene operar con ellos simplificando la expresión.
• Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados que componen el monomio en su forma reducida. Es necesario reducir el polinomio antes de reducir ya que los mayores puede que desaparezcan.

Suma y Resta de Polinomios

Agrupamos sus términos y simplificamos los monomios semejantes:

Producto de un Monomio por un Polinomio

Se multiplican el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Productos de dos Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y después se suman los monomios semejantes obtenidos.

Sacar Factor Común

En la expresión 3xy + 6x^2z+ xyz, la x está multiplicando en todos los sumandos. Es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera de este modo:

3xy + 6x^2z + xyz = x ( 3y + 6xz + yz)

A esta operación se la llama sacar factor común.

Ejercicios

1. Di el Grado de cada uno de estos polinomios:

a) x^5-6x^2+3x+1

b) 5xy^4+2y^2+3x^3y^3-2xy

c) x^2+3x^3-5x^2+x^3-3-4x^3

2. Sean P= x^4-3x^3+5x+3, Q=5x^3 +3x^2-11

Halla P+Q y P-Q

3. Halla los productos siguientes:

a) x(2x+y+1)

b) ab (a+b)

c) x^2y (x+y+1)

d) 6x^2y^2 (x^2-x+1)

e) 3a^2b^3)a-b+1)

f) 2a^2 (3a^2+5a^3)

g) 5(3x^2+7x+11)

h) 5xy^2(2x+3y)

i) -2 (5x^3+3x^2-8)

j) -2x (3x^2-5x+8)

4. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica:

a)3(x^3-5x+7) - (2x^3+6x^2+11x+4)

b) 2x(3x^2-5x+1) + 5(3x^2-5x+1) - 21/4x^2

c) 8· [3(x+2)/2 - y-x/2 - y/6 - 3]

d) 6· [ 3(x-5)/2 - y-x/2 - y/6-3]

e) -3(x-y-4)/7 - 10 - (y-1/3)

f) 2(x-1) + 3(y+4) - 2(3x+y)/5 + 9

g) (3x^3-2x^2+11) x^2-3/21

h) (x^2/2 - 3x + 1/3) · (6x^2 - 6) + (x^3-11x+31)

5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 3x^2+6x

b) a^4-3a^2

c) (x+1)a+(x+1)b-(x-1)

d) 6x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

e) x(x^2y+y^2x) +7^2y+y^2+x)

f) x/2(x-+5)-x/2

g) x/3-(x^2+1)x

h) x^2+1/3-x^2+1/5

i) xy/5-3xy(3x+1)

j)xy^2(x+1)-xy/2 (x+1)

El lenguaje Algebraico

Trabajar el lenguaje algebraico consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan con letras. Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

• Monomios : 3x>2
• Polinomios: 2x>2 - 7x +1

Algunas expresiones algebráicas son igualdades:

• Identidades: 3(x+4)= 3x+12. La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.
• Ecuaciones: 3 (x+4) = 27. La igualdad sólo es cierta para algún valor de x. En este caso x=5.

Para comenzar a trabajar con identidades y ecuaciones, cabe saber en primer lugar los formalismos algebraicos, estos consisten en:

1. El factor 1 no se escribe  1·x = x
2. El exponente 1 tampoco se escribe x>1 = x
3. El divisor 1 tampoco se pone x/1 =x
4. El signo de multiplicación tampoco se pone.
5. El número SIEMPRE delante de la letra.
6. Tener presente la propiedad distributiva.

Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un determinado problema, se obtienen expresiones algebraicas como:

• Monomios
• Polinomios
• Identidades
• Ecuaciones

Algunos Ejercicios:

1. La edad de Ángel, dentro de 15 años, será el doble de la que entonces tenga Marisa.

2. Si gasto 2/5 de lo que tengo y además 60€, me quedaré con la mitad de lo que tenía al principio.

3. Expresa mediante una ecuación la siguiente relación: "La edad de Ángel dentro de 5 años será el cuádruple de la que tiene ahora Marisa".

4. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:

a) A un número le quitas 7

b) El doble de un número mas su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

5. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso.

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es la mitad del ancho 

c) La altura es 20cm menos que el ancho

d) La altura es los 3/4 del ancho

e) La altura es un 20% menor de su ancho